Exercício 5: Encontre uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja .
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que diz
cujo núcleo seja
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que diz
Passo 2
Como queremos
(a reta gerada por
), então
Isso implica que
deve ter posto máximo em
, ou seja, deve ser sobrejetora e dada por dois funcionais lineares independentes.
Passo 3
Procuramos dois funcionais lineares
tais que ambos se anulem em
. Uma escolha simples é
pois
e
.
Passo 4
Definimos então
Para ver o núcleo, resolvemos
que dá
e
, ou seja
. Logo
.
Resposta
Uma transformação que funciona é
cujo kernel é exatamente
.