Exercício 5: Encontre uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \operatorname{ker} T= [(1,1,0)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear \;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
cujo núcleo seja \ker T=[(1,1,0)].
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que diz
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = \dim\mathbb{R}^3 = 3.

Passo 2

Como queremos \dim\ker T=1 (a reta gerada por (1,1,0)), então
\dim\operatorname{Im}T = 3 - 1 = 2.
Isso implica que T deve ter posto máximo em \mathbb{R}^2, ou seja, deve ser sobrejetora e dada por dois funcionais lineares independentes.

Passo 3

Procuramos dois funcionais lineares \varphi_1,\varphi_2:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tais que ambos se anulem em (1,1,0). Uma escolha simples é
\varphi_1(x,y,z)=x-y, \qquad \varphi_2(x,y,z)=z,
pois \varphi_1(1,1,0)=1-1=0 e \varphi_2(1,1,0)=0.

Passo 4

Definimos então
T(x,y,z) = \bigl(\varphi_1(x,y,z),\,\varphi_2(x,y,z)\bigr) = \bigl(x-y,\;z\bigr).
Para ver o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0)\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x - y = 0,\\\ z = 0, \end{cases}
que dá x=y e z=0, ou seja (x,y,z)=t\,(1,1,0). Logo \ker T=[(1,1,0)].

Resposta

Uma transformação que funciona é
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, \quad T(x,y,z)=(\,x-y,\;z\,),
cujo kernel é exatamente \{t(1,1,0):t\in\mathbb{R}\}.

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