Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede (a) verificar se é homogênea e (b) resolvê-la. Para isso vamos usar o método da equação característica, que se aplica justamente a equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Uma equação diferencial é dita homogênea quando seu termo independente (o lado direito) é zero. Aqui temos
logo o termo independente é zero e a equação é homogênea.
Passo 3
No método da equação característica, substituímos
. Isso gera a equação algébrica
Passo 4
Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
Como
, teremos duas raízes reais distintas:
Passo 5
Com duas raízes reais
e
, a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes de integração.