Verifique se as equações diferenciais de segunda ordem são homogêneas ou não e as resolva:
y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 12\,y' + 9\,y = 0
e pede (a) verificar se é homogênea e (b) resolvê-la. Para isso vamos usar o método da equação característica, que se aplica justamente a equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Uma equação diferencial é dita homogênea quando seu termo independente (o lado direito) é zero. Aqui temos
y'' + 12\,y' + 9\,y = 0
logo o termo independente é zero e a equação é homogênea.

Passo 3

No método da equação característica, substituímos y = e^{r x}. Isso gera a equação algébrica
r^2 + 12\,r + 9 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
\Delta = 12^2 - 4\cdot1\cdot9 = 144 - 36 = 108.
Como \Delta>0, teremos duas raízes reais distintas:
r = \frac{-12 \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{3}}{2} = -6 \pm 3\sqrt{3}.

Passo 5

Com duas raízes reais r_1 = -6 + 3\sqrt{3} e r_2 = -6 - 3\sqrt{3}, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,e^{r_1 x} + C_{2}\,e^{r_2 x} = C_{1}\,e^{(-6 + 3\sqrt{3})x} + C_{2}\,e^{(-6 - 3\sqrt{3})x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{(-6 + 3\sqrt{3})x} + C_{2}\,e^{(-6 - 3\sqrt{3})x}.

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