Um número x in R é dito algébrico se existem k in N e a0, a1, ldots, ak em Z com sumi=0^k ai x^i=0.
(a) Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
(b) Justifique que o conjunto dos números transcendentes, ou seja, os números reais que não são algébricos, não é enumerável.

Passo 1

O enunciado define um número xinR como algébrico se existe um polinômio
a0+a1x+cdots+akx^k=0
com coeficientes inteiros a0,a1,dots,akinZ, kinN.
(a) Queremos mostrar que o conjunto dos algébricos é enumerável (contável).
(b) Em seguida, usaremos que os reais são não enumeráveis para deduzir que os transcendentes (reais que não são algébricos) não são enumeráveis.

Passo 2

Mostramos primeiro que o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em Z é contável.
  1. Sabemos que Z é contável.
  2. Para cada grau k, o conjunto Z^,k+1 de tuplas l(a0,a1,dots,akr) é produto finito de conjuntos contáveis, logo contável.
  3. O conjunto de todos os polinômios de algum grau k é a união
cupk=0^inftyZ^,k+1,
que é união numerável de conjuntos contáveis. Concluímos que há apenas contavelmente muitos polinômios com coeficientes inteiros.

Passo 3

Cada polinômio de grau k tem no máximo k raízes complexas (teorema fundamental da álgebra), e portanto no máximo k raízes reais. Logo, o conjunto dos valores reais que anulam um dado polinómio é finito.
O conjunto dos números algébricos é a união, sobre todos esses polinômios contáveis, dos seus conjuntos finitos de raízes reais. Como união numerável de conjuntos finitos (portanto contáveis) é contável, segue que o conjunto dos números algébricos é enumerável.

Passo 4

É clássico (argumento de Cantor) que o conjunto R dos números reais é não numerável. Em particular, não existe enumeração lista que liste todos os reais sem deixar “buracos”.

Passo 5

Os números transcendentes são exatamente
Rsetminusalgébricos é
Como R é não numerável e o conjunto dos algébricos é numerável, a diferença de um conjunto não numerável por um numerável continua sendo não numerável. Logo, o conjunto dos transcendentes não é enumerável.

Resposta

(a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
(b) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.

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