Um número
é dito algébrico se existem
e
em
com
.
(a) Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
(b) Justifique que o conjunto dos números transcendentes, ou seja, os números reais que não são algébricos, não é enumerável.
(a) Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
(b) Justifique que o conjunto dos números transcendentes, ou seja, os números reais que não são algébricos, não é enumerável.
Passo 1
O enunciado define um número
como algébrico se existe um polinômio
com coeficientes inteiros
,
.
(a) Queremos mostrar que o conjunto dos algébricos é enumerável (contável).
(b) Em seguida, usaremos que os reais são não enumeráveis para deduzir que os transcendentes (reais que não são algébricos) não são enumeráveis.
(a) Queremos mostrar que o conjunto dos algébricos é enumerável (contável).
(b) Em seguida, usaremos que os reais são não enumeráveis para deduzir que os transcendentes (reais que não são algébricos) não são enumeráveis.
Passo 2
Mostramos primeiro que o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em
é contável.
- Sabemos que
é contável. - Para cada grau
, o conjunto de tuplas é produto finito de conjuntos contáveis, logo contável. - O conjunto de todos os polinômios de algum grau
é a união
que é união numerável de conjuntos contáveis. Concluímos que há apenas contavelmente muitos polinômios com coeficientes inteiros.
Passo 3
Cada polinômio de grau
tem no máximo
raízes complexas (teorema fundamental da álgebra), e portanto no máximo
raízes reais. Logo, o conjunto dos valores reais que anulam um dado polinómio é finito.
O conjunto dos números algébricos é a união, sobre todos esses polinômios contáveis, dos seus conjuntos finitos de raízes reais. Como união numerável de conjuntos finitos (portanto contáveis) é contável, segue que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
O conjunto dos números algébricos é a união, sobre todos esses polinômios contáveis, dos seus conjuntos finitos de raízes reais. Como união numerável de conjuntos finitos (portanto contáveis) é contável, segue que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
Passo 4
É clássico (argumento de Cantor) que o conjunto
dos números reais é não numerável. Em particular, não existe enumeração lista que liste todos os reais sem deixar “buracos”.
Passo 5
Os números transcendentes são exatamente
Como
é não numerável e o conjunto dos algébricos é numerável, a diferença de um conjunto não numerável por um numerável continua sendo não numerável. Logo, o conjunto dos transcendentes não é enumerável.
Resposta
(a) O conjunto dos números algébricos é enumerável.
(b) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.
(b) O conjunto dos números transcendentes não é enumerável.