Determine a energia armazenada por unidade de comprimento no campo magnético interno de um fio retilíneo infinitamente longo de raio a, pelo qual circula uma corrente I.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a energia magnética por unidade de comprimento armazenada DENTRO de um fio reto, infinito, de raio e corrente . Isso cai em “magnetostática” e “energia do campo magnético”. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. A lei de Ampère pra achar dentro do fio.
  2. A densidade de energia magnética .
  3. Integrar essa densidade no volume (aqui, área da seção × comprimento), mas como queremos por comprimento, integramos só na seção transversal.

Passo 2

Primeiro, o campo magnético dentro do fio. Pela lei de Ampère, escolhemos um caminho circular de raio Irm encl = I ,área do círculo de raio rárea do círculo de raio a = I,pi r^2pi a^2 = I,r^2a^2 . A corrente “encapsulada” nele é
oint vec Bcdot dvecell = B(r),(2pi r) = mu0 Irm encl ;Longrightarrow; B(r) = mu02pi r;I,r^2a^2 = mu0 I,r2pi a^2 áíáí
Então

Passo 3

Agora, a densidade de energia magnética é
u(r) = B(r)^22mu0 = 12mu0,l(mu0 I,r2pi a^2r)^!2 = mu0 I^28pi^2 a^4;r^2
Pra achar a energia por comprimento UL =integral0^a u(r);2pi r,dr =integral0^amu0 I^28pi^2 a^4,r^2;cdot 2pi r,dr vamos integrar na área da seção ( ), e depois dividir por . Como já é por volume e nosso volume é área , a gente só faz a parte da área:

Passo 4

Agora, simplifica e resolve a integral:
UL = mu0 I^28pi^2 a^4;2pi;integral0^a r^3,dr = mu0 I^24pi a^4;l[r^44r]0^a = mu0 I^24pi a^4;a^44 = mu0 I^216pi

Resposta

boxedUL = mu0,I^216pi

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