Determine a energia cinética necessária para girar com velocidade angular
um um disco anelar (raio inferior
e espessura
) e densidade constante
, supondo um eixo de rotação contido no plano do disco, passando pelos seguintes pontos:
Seu centro.
Seu centro.
Passo 1
O enunciado pede a energia cinética necessária para girar um disco anelar com raio interno
, espessura radial
e densidade superficial constante
, com velocidade angular
. O eixo de rotação está contido no plano do disco, passando pelo centro. Para resolver, vamos usar (i) o cálculo da massa a partir da densidade e da área anular, (ii) a fórmula do momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo
) e (iii) o teorema dos eixos perpendiculares para obter o momento de inércia em torno de um diâmetro (eixo no plano).
Passo 2
Calcular a massa total
do anel. A área do anel de raio interno
e raio externo
é
e, como a densidade superficial é
, temos
Passo 3
Determinar o momento de inércia
em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo
). Para um anel de massa
, raio interno
e externo
,
Passo 4
Aplicar o teorema dos eixos perpendiculares (para lâminas planas): se
e
são os momentos de inércia em torno de dois eixos ortogonais no plano da lâmina e
é o momento perpendicular, então
e, por simetria,
. Logo
Passo 5
A energia cinética de rotação é dada por
Substituindo
e
, obtemos