Determine a energia cinética necessária para girar com velocidade angular \omega_{0} um um disco anelar (raio inferior R_{0} e espessura t ) e densidade constante \rho_{0}, supondo um eixo de rotação contido no plano do disco, passando pelos seguintes pontos:
Seu centro.

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética necessária para girar um disco anelar com raio interno R_{0}, espessura radial t e densidade superficial constante \rho_{0}, com velocidade angular \omega_{0}. O eixo de rotação está contido no plano do disco, passando pelo centro. Para resolver, vamos usar (i) o cálculo da massa a partir da densidade e da área anular, (ii) a fórmula do momento de inércia em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo z) e (iii) o teorema dos eixos perpendiculares para obter o momento de inércia em torno de um diâmetro (eixo no plano).

Passo 2

Calcular a massa total M do anel. A área do anel de raio interno R_{0} e raio externo R_{0}+t é
A = \pi\bigl((R_{0}+t)^{2} - R_{0}^{2}\bigr)
e, como a densidade superficial é \rho_{0}, temos
M = \rho_{0}\,A = \rho_{0}\,\pi\Bigl((R_{0}+t)^{2} - R_{0}^{2}\Bigr).

Passo 3

Determinar o momento de inércia I_{z} em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo z). Para um anel de massa M, raio interno R_{0} e externo R_{0}+t,
I_{z} = \frac{1}{2}\,M\Bigl((R_{0}+t)^{2} + R_{0}^{2}\Bigr).

Passo 4

Aplicar o teorema dos eixos perpendiculares (para lâminas planas): se I_{x} e I_{y} são os momentos de inércia em torno de dois eixos ortogonais no plano da lâmina e I_{z} é o momento perpendicular, então
I_{x} + I_{y} = I_{z},
e, por simetria, I_{x}=I_{y}. Logo
I_{x} = \frac{1}{2}\,I_{z} = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{1}{2}\,M\bigl((R_{0}+t)^{2}+R_{0}^{2}\bigr)\biggr] = \frac{1}{4}\,M\Bigl((R_{0}+t)^{2}+R_{0}^{2}\Bigr).

Passo 5

A energia cinética de rotação é dada por
K = \frac{1}{2}\,I_{x}\,\omega_{0}^{2}.
Substituindo I_{x} e M, obtemos
K = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{1}{4}\,M\bigl((R_{0}+t)^{2}+R_{0}^{2}\bigr)\biggr]\omega_{0}^{2} = \frac{1}{8}\,\rho_{0}\,\pi\Bigl((R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}\Bigr)\Bigl((R_{0}+t)^{2}+R_{0}^{2}\Bigr)\,\omega_{0}^{2}.

Resposta

K = \frac{1}{8}\,\rho_{0}\,\pi\Bigl((R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}\Bigr)\Bigl((R_{0}+t)^{2}+R_{0}^{2}\Bigr)\,\omega_{0}^{2}.

Exercícios relacionados