Encontre o tensor de inércia I_{i j} para uma placa quadrada (lados a ) cuja densidade varia de acordo com sua aresta inferior esquerda na forma \rho(x)=\rho_{0}(x+a), sendo \rho_{0} uma constante. Para isso, considere o eixo de rotação localizado:
a) Em seu vértice inferior esquerdo.
b) Na posição do Centro de Massa.

Passo 1

O enunciado pede o tensor de inércia I_{ij} de uma placa quadrada de lado a no plano xy, com densidade superficial \rho(x)=\rho_{0}(x+a). Precisamos usar integrais duplas para obter M e os momentos de inércia em relação a eixos no vértice inferior esquerdo (origem) e depois aplicar o teorema dos eixos paralelos para eixos passando pelo centro de massa.

Passo 2

Calculemos a massa total
M=\iint_{\text{placa}}\rho(x)\,dx\,dy =\rho_{0}\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{a}(x+a)\,dx\,dy =\rho_{0}\Bigl[\tfrac{1}{2}a^{2}+a^{2}\Bigr]\,a =\tfrac{3}{2}\,\rho_{0}\,a^{3}.

Passo 3

Tensor de inércia na origem (vértice inferior esquerdo):
Ixx= \displaystyle\int y^{2}\,dm=\rho_{0}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{a}y^{2}(x+a)\,dx\,dy =\tfrac{1}{2}\,\rho_{0}\,a^{5}.
Iyy= \displaystyle\int x^{2}\,dm=\rho_{0}\,a\!\int_{0}^{a}(x^{3}+a\,x^{2})\,dx =\tfrac{7}{12}\,\rho_{0}\,a^{5}.
Ixy= -\displaystyle\int x\,y\,dm =-\rho_{0}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{a}x\,y\,(x+a)\,dx\,dy =-\tfrac{5}{12}\,\rho_{0}\,a^{5}.
Iz z=Ix x+Iyy= \tfrac{13}{12}\,\rho_{0}\,a^{5}.
Logo, em coordenadas (x,y,z) a matriz é
I^{(\mathrm{orig})}=\rho_{0}a^{5} \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac{5}{12} & 0\\[6pt] -\tfrac{5}{12} & \tfrac{7}{12} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{13}{12} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Encontremos o centro de massa:
x_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{M}\,\rho_{0}\,a\!\int_{0}^{a}(x^{2}+a\,x)\,dx =\frac{5}{9}\,a, \quad y_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{M}\,\rho_{0}\!\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{a}y\,(x+a)\,dx\,dy =\tfrac12\,a.

Passo 5

Aplique o teorema dos eixos paralelos para translar ao CM:
I_{xx}^{\mathrm{CM}} =I_{xx}^{(\mathrm{orig})}-M\,y_{\mathrm{CM}}^{2} =\tfrac{1}{2}\rho_{0}a^{5}-\tfrac{1}{4}a^{2}\,M =\tfrac{1}{8}\,\rho_{0}\,a^{5},
I_{yy}^{\mathrm{CM}} =I_{yy}^{(\mathrm{orig})}-M\,x_{\mathrm{CM}}^{2} =\tfrac{7}{12}\rho_{0}a^{5}-\tfrac{25}{81}a^{2}\,M =\tfrac{13}{108}\,\rho_{0}\,a^{5},
I_{xy}^{\mathrm{CM}} =I_{xy}^{(\mathrm{orig})}+M\,x_{\mathrm{CM}}\,y_{\mathrm{CM}} =-\tfrac{5}{12}\rho_{0}a^{5}+\tfrac{5}{12}\rho_{0}a^{5} =0,
I_{zz}^{\mathrm{CM}}=I_{xx}^{\mathrm{CM}}+I_{yy}^{\mathrm{CM}} =\tfrac{53}{216}\,\rho_{0}\,a^{5}.

Resposta

a) Em relação ao vértice inferior esquerdo:
I^{(\mathrm{orig})}=\rho_{0}a^{5} \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac{5}{12} & 0\\[6pt] -\tfrac{5}{12} & \tfrac{7}{12} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{13}{12} \end{pmatrix}.
b) Em relação ao centro de massa:
I^{\mathrm{CM}}=\rho_{0}a^{5} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & 0 & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{13}{108} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{53}{216} \end{pmatrix}.]

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