Encontre o tensor de inércia
para uma placa quadrada (lados
) cuja densidade varia de acordo com sua aresta inferior esquerda na forma
, sendo
uma constante. Para isso, considere o eixo de rotação localizado:
a) Em seu vértice inferior esquerdo.
b) Na posição do Centro de Massa.
a) Em seu vértice inferior esquerdo.
b) Na posição do Centro de Massa.
Passo 1
O enunciado pede o tensor de inércia
de uma placa quadrada de lado
no plano
, com densidade superficial
. Precisamos usar integrais duplas para obter
e os momentos de inércia em relação a eixos no vértice inferior esquerdo (origem) e depois aplicar o teorema dos eixos paralelos para eixos passando pelo centro de massa.
Passo 2
Calculemos a massa total
Passo 3
Tensor de inércia na origem (vértice inferior esquerdo):
Ixx=
Iyy=
Ixy=
Iz x
yy=
Logo, em coordenadas a matriz é
Ixx=
Iyy=
Ixy=
Iz
Logo, em coordenadas
Passo 4
Encontremos o centro de massa:
Passo 5
Aplique o teorema dos eixos paralelos para translar ao CM:
Resposta
a) Em relação ao vértice inferior esquerdo:
b) Em relação ao centro de massa: