Quatro objetos são lançados simultaneamente a partir do topo de um plano inclinado de altura
, todos com velocidade inicial nula. Os objetos 1,2 e 3 são discos de raios
e
, sendo suas massas
e
, sendo
e
constantes conhecidas. O quarto objeto é um bloco de massa
. Suponha que os discos descem plano abaixo sem deslizar. Determine a velocidade de cada objeto ao chegar à base do plano, ordenando-os por ordem de chegada.
Passo 1
O enunciado descreve quatro objetos lançados do repouso do topo de um plano inclinado de altura
. Três são discos rolando sem deslizar (raios
,
,
e massas
,
,
), e o quarto é um bloco de massa
deslizando sem atrito. Precisamos usar conservação de energia, incluindo energia rotacional para os discos, e determinar a velocidade de cada um ao chegar à base, depois ordenar pelos tempos de descida (equivalente a ordenar por velocidades finais, já que o comprimento do plano é o mesmo para todos).
Passo 2
Para o bloco de massa
, não há energia rotacional. Aplicando conservação da energia mecânica entre o topo e a base:
Como
aparece dos dois lados, cancela, resultando
Passo 3
Para cada disco, há energia de translação e de rotação. Para um disco genérico de massa
e raio
, o momento de inércia é
e a condição de não deslizamento impõe
. A conservação de energia entre topo e base dá
Logo,
Passo 4
Note que nesta expressão de
para o disco não aparecem nem
nem
: todos os três discos chegam à base com a mesma velocidade
Passo 5
Comparando
com ,
vemos que
com
vemos que
Como todos percorrem o mesmo comprimento ao longo do plano, maior velocidade final significa menor tempo de descida.
Resposta
Bloco
:
Discos
:
Ordem de chegada (do mais rápido ao mais lento):
1º o bloco, depois os três discos simultaneamente.
1º o bloco, depois os três discos simultaneamente.