Quatro objetos são lançados simultaneamente a partir do topo de um plano inclinado de altura h, todos com velocidade inicial nula. Os objetos 1,2 e 3 são discos de raios R_{1}=2 R_{0}, R_{2}=R_{0} / 2 e R_{3}=3 R_{0}, sendo suas massas m_{1}=2 m_{0}, m_{2}=3 m_{0} e m_{3}=m_{0} / 2, sendo m_{0} e R_{0} constantes conhecidas. O quarto objeto é um bloco de massa 3 m_{0}. Suponha que os discos descem plano abaixo sem deslizar. Determine a velocidade de cada objeto ao chegar à base do plano, ordenando-os por ordem de chegada.

Passo 1

O enunciado descreve quatro objetos lançados do repouso do topo de um plano inclinado de altura h. Três são discos rolando sem deslizar (raios R_1=2R_0, R_2=\tfrac{R_0}{2}, R_3=3R_0 e massas m_1=2m_0, m_2=3m_0, m_3=\tfrac{m_0}{2}), e o quarto é um bloco de massa 3m_0 deslizando sem atrito. Precisamos usar conservação de energia, incluindo energia rotacional para os discos, e determinar a velocidade de cada um ao chegar à base, depois ordenar pelos tempos de descida (equivalente a ordenar por velocidades finais, já que o comprimento do plano é o mesmo para todos).

Passo 2

Para o bloco de massa 3m_0, não há energia rotacional. Aplicando conservação da energia mecânica entre o topo e a base:
m_{\text{bloco}}\,g\,h =\tfrac12\,m_{\text{bloco}}\,v_{\text{bloco}}^2.
Como m_{\text{bloco}}=3m_0 aparece dos dois lados, cancela, resultando
g\,h=\tfrac12\,v_{\text{bloco}}^2 \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{bloco}}=\sqrt{2\,g\,h}.

Passo 3

Para cada disco, há energia de translação e de rotação. Para um disco genérico de massa m e raio R, o momento de inércia é
I=\tfrac12\,m\,R^2,
e a condição de não deslizamento impõe \omega=v/R. A conservação de energia entre topo e base dá
m\,g\,h =\tfrac12\,m\,v^2+\tfrac12\,I\,\omega^2 =\tfrac12\,m\,v^2+\tfrac12\bigl(\tfrac12\,m\,R^2\bigr)\bigl(\tfrac{v}{R}\bigr)^2 =\tfrac12\,m\,v^2+\tfrac14\,m\,v^2 =\tfrac34\,m\,v^2.
Logo,
v^2=\frac{4}{3}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{4}{3}\,g\,h}.

Passo 4

Note que nesta expressão de v para o disco não aparecem nem m nem R: todos os três discos chegam à base com a mesma velocidade
v_{\text{disco}}=\sqrt{\frac{4}{3}\,g\,h}.

Passo 5

Comparando \displaystyle v_{\text{bloco}}=\sqrt{2\,g\,h}
com \displaystyle v_{\text{disco}}=\sqrt{\tfrac{4}{3}\,g\,h},
vemos que
\sqrt{2\,g\,h} > \sqrt{\tfrac{4}{3}\,g\,h} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{bloco}}>v_{\text{disco}}.
Como todos percorrem o mesmo comprimento ao longo do plano, maior velocidade final significa menor tempo de descida.

Resposta

Bloco 3m_0:
v_{\text{bloco}}=\sqrt{2\,g\,h}.
Discos 1,2,3:
v_{1}=v_{2}=v_{3} =\sqrt{\frac{4}{3}\,g\,h}.
Ordem de chegada (do mais rápido ao mais lento):
1º o bloco, depois os três discos simultaneamente.

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