Determine a energia cinética necessária para girar com velocidade angular
um um disco anelar (raio inferior
e espessura
) e densidade constante
, supondo um eixo de rotação contido no plano do disco, passando pelos seguintes pontos:
Um ponto em seu perímetro interno.
Um ponto em seu perímetro interno.
Passo 1
O enunciado pede a energia cinética necessária para colocar em rotação, com velocidade angular
, um disco anelar de densidade superficial constante
, que vai de raio interno
até
. O eixo de rotação está contido no plano do disco, passando por um ponto do perímetro interno, isto é, é tangente à circunferência de raio
. Sabemos que a energia cinética é
onde
é o momento de inércia em relação a esse eixo.
Passo 2
Para obter
fazemos a integral
onde
é a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação. Usamos coordenadas polares centradas no centro do anel: um ponto genérico tem coordenadas
com
e
. A densidade superficial é
, então
Passo 3
A distância ao eixo que passa pelo ponto
no plano é
Logo
Passo 4
Fazendo a integral em
, o termo com
some, pois
. Restam só os termos em
e
:
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Então
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos