Determine a energia cinética necessária para girar com velocidade angular \omega_{0} um um disco anelar (raio inferior R_{0} e espessura t ) e densidade constante \rho_{0}, supondo um eixo de rotação contido no plano do disco, passando pelos seguintes pontos:
Um ponto em seu perímetro interno.

Passo 1

O enunciado pede a energia cinética necessária para colocar em rotação, com velocidade angular \omega_{0}, um disco anelar de densidade superficial constante \rho_{0}, que vai de raio interno R_{0} até R_{0}+t. O eixo de rotação está contido no plano do disco, passando por um ponto do perímetro interno, isto é, é tangente à circunferência de raio R_{0}. Sabemos que a energia cinética é
K = \frac12 I\,\omega_{0}^{2},
onde I é o momento de inércia em relação a esse eixo.

Passo 2

Para obter I fazemos a integral
I = \int r_{\perp}^{2}\,dm,
onde r_{\perp} é a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação. Usamos coordenadas polares centradas no centro do anel: um ponto genérico tem coordenadas (r,\varphi) com R_{0}\le r\le R_{0}+t e 0\le\varphi<2\pi. A densidade superficial é \rho_{0}, então
dm = \rho_{0}\,dA = \rho_{0}\,r\,dr\,d\varphi.

Passo 3

A distância ao eixo que passa pelo ponto (R_{0},0) no plano é
r_{\perp}^{2} = (r\cos\varphi - R_{0})^{2} + (r\sin\varphi)^{2} = r^{2} + R_{0}^{2} -2rR_{0}\cos\varphi.
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I = \rho_{0}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{R_{0}}^{R_{0}+t}\bigl(r^{2}+R_{0}^{2}-2rR_{0}\cos\varphi\bigr)\,r\,dr\,d\varphi.

Passo 4

Fazendo a integral em \varphi, o termo com \cos\varphi some, pois \int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi=0. Restam só os termos em r^{2} e R_{0}^{2}:
I = \rho_{0}\,2\pi \int_{R_{0}}^{R_{0}+t}\bigl(r^{3} + R_{0}^{2}r\bigr)\,dr.

Passo 5

Calculamos a integral em r:
\int_{R_{0}}^{R_{0}+t}r^{3}\,dr = \frac{(R_{0}+t)^{4}-R_{0}^{4}}{4}, \quad \int_{R_{0}}^{R_{0}+t}r\,dr = \frac{(R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}}{2}.
Então
I = 2\pi\rho_{0}\Biggl[ \frac{(R_{0}+t)^{4}-R_{0}^{4}}{4} + R_{0}^{2}\,\frac{(R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}}{2} \Biggr].

Passo 6

Substituindo I em K=\tfrac12I\omega_{0}^{2}, obtemos
K = \frac{\pi\rho_{0}\,\omega_{0}^{2}}{1}\,\Biggl[ \frac{(R_{0}+t)^{4}-R_{0}^{4}}{4} + \frac{R_{0}^{2}\bigl[(R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}\bigr]}{2} \Biggr].

Resposta

K = \pi\rho_{0}\,\omega_{0}^{2} \Biggl[ \frac{(R_{0}+t)^{4}-R_{0}^{4}}{4} + \frac{R_{0}^{2}\bigl[(R_{0}+t)^{2}-R_{0}^{2}\bigr]}{2} \Biggr].

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