Uma partícula no plano
é atraída para a origem por uma força
, inversamente proporcional à sua distância do eixo x. Calcule o trabalho realizado pela mesma força, quando a partícula se move ao longo de uma elipse de semi-eixos
e
(sugestão: Faça
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo no plano xy e uma força que puxa ela para a origem. Essa força é dada por $ F = \frac{k}{y} $, ou seja, ela depende inversamente da distância da partícula até o eixo x (que é justamente o valor de y). Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho realizado por essa força quando a partícula se move ao longo de uma elipse com semi-eixos a e 2a. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória da partícula, que é uma elipse. A parametrização sugerida é:
Aqui, θ é o parâmetro que varia de
a
para completar a elipse. Essa parametrização nos ajuda a descrever a posição da partícula em qualquer ponto ao longo da elipse.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor deslocamento diferencial $ d\mathbf{r} $ ao longo da curva. Para isso, derivamos as expressões de x e y em relação a θ:
Então, o vetor deslocamento diferencial é:
Passo 4
A força que está atuando na partícula é $ F = \frac{k}{y} $ na direção negativa do eixo y (já que está puxando para a origem). Então, o vetor força $ \mathbf{F} $ é:
Usamos a parametrização de y para expressar $ \mathbf{F} $ em termos de θ.
Passo 5
Para encontrar o trabalho $ W $ realizado pela força ao longo da trajetória, usamos a fórmula do trabalho para um deslocamento vetorial:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar entre $ \mathbf{F} $ e $ d\mathbf{r} $:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar o trabalho total realizado pela força ao longo da elipse. O intervalo de integração para θ vai de
a
:
Porém, percebemos que a função $ \tan \theta $ tem pontos de descontinuidade nos valores onde $ \cos \theta = 0 $, ou seja, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ e $ \theta = \frac{3\pi}{2} $, o que torna a integral indefinida nesse intervalo. Isso significa que o trabalho realizado pela força $ F = \frac{k}{y} $ ao longo de uma elipse completa é infinito.
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo da elipse é infinito.