Determine a equação característica associada a equação diferencial 6 y^prime prime-y^prime-y=0 :
Escolha uma opção:
4 r^2-9=0
r^2-9 r+9=0
Nenhuma das demais alternativas
2 r^2-3 r+1=0
6 r^2+r+1=0
r^2+5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada: 6 y'' - y' - y = 0. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais de segunda ordem e como transformar essas equações em uma maneira que a gente possa resolver mais facilmente, usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma geral:
a y'' + b y' + c y = 0
onde y'' é a segunda derivada de y em relação a x, y' é a primeira derivada, e a, b, c são constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente assume uma solução da forma y = e^r x, onde r é um número que a gente precisa descobrir. Ao substituir essa solução na equação diferencial, a gente vai obter a equação característica:
a r^2 + b r + c = 0
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso na equação que a gente tem:
6 y'' - y' - y = 0
Comparando com a forma geral, identificamos que:
a = 6, b = -1, c = -1
Portanto, a equação característica é:
6 r^2 - r - 1 = 0

Passo 5

Agora, vamos comparar essa equação com as opções dadas:
  1. 4 r^2-9=0
  2. r^2-9 r+9=0
  3. Nenhuma das demais alternativas
  4. 2 r^2-3 r+1=0
  5. 6 r^2+r+1=0
  6. r^2+5=0
Vemos que nenhuma das opções corresponde exatamente a 6 r^2 - r - 1 = 0.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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