Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y’ = y \cdot \sin x $. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial do primeiro grau, mais especificamente uma equação diferencial separável. Isso significa que a gente pode separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integral para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Começamos dividindo ambos os lados por $ y $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de $ \frac{1}{y} , dy $ em relação a $ y $ é $ \ln |y| + C $, e a integral de $ \sin x , dx $ em relação a $ x $ é $ -\cos x + C $.
Passo 4
O próximo passo é resolver para $ y $. Para isso, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar $ e^{-\cos x + C} $ como $ e^{-\cos x} \cdot e^{C} $. Como $ e^{C} $ é uma constante positiva, podemos representá-la como uma nova constante $ C $:
Passo 5
Finalmente, removemos o valor absoluto, considerando que $ C $ pode assumir qualquer valor real (positivo ou negativo), assim:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ y = C , e^{-\cos x} $.