Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Hermite:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Hermite:
Nesse caso, vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano, denotado por $ W(y_1, y_2) $, de duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ é dado pelo determinante:
Ele nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Para encontrar a forma do Wronskiano, precisamos usar uma propriedade das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Se temos uma equação da forma:
Então, o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a equação diferencial:
No nosso caso, a equação é:
Aqui, $ P(t) = -2t $.
Passo 4
Agora, aplicando a propriedade, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W(t) $. Vamos resolver essa equação para encontrar $ W(t) $.
Passo 5
Para resolver a equação $ W^{\prime} - 2t W = 0 $, podemos reescrever como:
Essa é uma equação separável, então podemos separar as variáveis:
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Exponentiando ambos os lados para resolver para $ W $:
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma constante $ C’ $, então:
Resposta
A forma do Wronskiano das duas soluções da equação diferencial de Hermite é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.