Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Hermite:
y^prime prime-2 t y^prime+lambda y=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para descobrir a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Hermite:
y^prime prime - 2t y^prime + lambda y = 0
Nesse caso, vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano, denotado por $ W(y_1, y_2) $, de duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ é dado pelo determinante:
W(y1, y2)
Ele nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Para encontrar a forma do Wronskiano, precisamos usar uma propriedade das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Se temos uma equação da forma:
y^prime prime + P(t) y^prime + Q(t) y = 0
Então, o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a equação diferencial:
W(t)
No nosso caso, a equação é:
W^prime + P(t) W = 0
Aqui, $ P(t) = -2t $.

Passo 4

Agora, aplicando a propriedade, temos:
W^prime - 2t W = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ W(t) $. Vamos resolver essa equação para encontrar $ W(t) $.

Passo 5

Para resolver a equação $ W^{\prime} - 2t W = 0 $, podemos reescrever como:
W^prime - 2t W = 0
Essa é uma equação separável, então podemos separar as variáveis:
dWdt = 2t W

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
integral 1W dW = integral 2t dt
ln |W| = t^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Exponentiando ambos os lados para resolver para $ W $:
W
Podemos escrever $ e^{C} $ como uma constante $ C’ $, então:
W = e^t^2 + C = e^C e^t^2

Resposta

A forma do Wronskiano das duas soluções da equação diferencial de Hermite é:
W(t) = C e^t^2
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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