Determine a equação característica associada a equação diferencial 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 :
Escolha uma opção:
r^2-9 r+9=0
Nenhuma das demais alternativas
2 r^2-3 r+1=0
r^2-2 r-2=0
r^2+5=0
4 r^2-9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos pede para encontrar a equação característica associada à equação diferencial 2 y'' - 3 y' + y = 0. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos saber como transformar a equação diferencial em uma equação característica, que é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para transformar a equação diferencial 2 y'' - 3 y' + y = 0 em uma equação característica, substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1. Isso porque estamos assumindo uma solução da forma y = e^rt, e derivando isso duas vezes nos dá y'' = r^2 e^rt.

Passo 3

Aplicando essa substituição na equação diferencial:
2 y'' - 3 y' + y = 0
fica:
2 r^2 - 3 r + 1 = 0
Essa é a nossa equação característica.

Passo 4

Agora, precisamos comparar essa equação característica com as opções fornecidas na questão para ver qual delas corresponde. A equação que obtivemos é 2 r^2 - 3 r + 1 = 0.

Resposta

A equação característica associada é 2 r^2 - 3 r + 1 = 0. A opção correta é:
2 r^2-3 r+1=0

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