Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = 3 $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Assim:
As raízes são reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
Então, temos nossa primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 0 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
Aplicando $ t = 0 $:
Então, nossa segunda equação é:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_1 = 1 - C_2 $ e substituir na segunda:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
E, a partir da equação $ C_1 = 1 - C_2 $:
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor inicial é: