Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5 y' + 3 y = 0
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. Para uma equação da forma:
y'' + a y' + b y = 0
a equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = 3 $. Então, a equação característica fica:
a = 5

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aplicando os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Assim:
a = 1, b = 5, c = 3
As raízes são reais e distintas:
r = -5 pm raiz25 - 122 = -5 pm raiz132

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
y(0) = 1
Então, temos nossa primeira equação:
y(0) = C1 e^r1 cdot 0 + C2 e^r2 cdot 0 = C1 + C2 = 1

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = 0 $. Primeiro, precisamos derivar a solução geral:
y'(0) = 0
Aplicando $ t = 0 $:
y'(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t
Então, nossa segunda equação é:
t = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 1 C1 r1 + C2 r2 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_1 = 1 - C_2 $ e substituir na segunda:
C1 = 1 - C2
Simplificando:
(1 - C2) r1 + C2 r2 = 0

Passo 8

Agora, substituímos os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r1
E, a partir da equação $ C_1 = 1 - C_2 $:
r2

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é:
y(t) = (32 - raiz1310) e^(-5 + raiz132) t + (-12 + raiz1310) e^(-5 - raiz132) t

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