Encontre o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial
que satisfaçam as condições
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções {y₁,y₂} da equação diferencial homogênea de coeficientes constantes y’’+5y’+6y=0, de modo que y₁ e y₂ satisfaçam condições iniciais em x=1. Vamos usar o método da equação característica para resolver.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
e resolvemos para r.
Passo 3
Fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
portanto
Passo 4
A solução geral da EDO é combinação linear das funções exponenciais correspondentes:
Passo 5
Para achar y₁, imponho as condições y₁(1)=1 e y₁’(1)=0. Das igualdades
soluciono o sistema e encontro
$$C_1 = 3e^2,
\quad C_2 = -2e^3.
y_1(x) = 3e^2 e^{-2x} , - 2e^3 e^{-3x} = 3e^{2-2x} - 2e^{3-3x}.$$
Passo 6
Para achar y₂, imponho y₂(1)=0 e y₂’(1)=1. Do sistema
soluciono e obtenho
$$C_1 = e^2,
\quad C_2 = -e^3.
y_2(x) = e^2 e^{-2x} - e^3 e^{-3x} = e^{2-2x} - e^{3-3x}.$$
Resposta
O conjunto fundamental é {y₁,y₂} com