Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial
y^prime prime+5 y^prime+6 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1)=0 e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções {y₁,y₂} da equação diferencial homogênea de coeficientes constantes y’’+5y’+6y=0, de modo que y₁ e y₂ satisfaçam condições iniciais em x=1. Vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 5r + 6 = 0
e resolvemos para r.

Passo 3

Fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3)=0
portanto
r1 = -2, r2 = -3

Passo 4

A solução geral da EDO é combinação linear das funções exponenciais correspondentes:
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 5

Para achar y₁, imponho as condições y₁(1)=1 e y₁’(1)=0. Das igualdades
C1 e^-2 + C2 e^-3 = 1,
-2C1 e^-2 - 3C2 e^-3 = 0,
soluciono o sistema e encontro
$$C_1 = 3e^2,
\quad C_2 = -2e^3. C1 = 3e^2, C2 = -2e^3y_1(x) = 3e^2 e^{-2x} , - 2e^3 e^{-3x} = 3e^{2-2x} - 2e^{3-3x}.$$

Passo 6

Para achar y₂, imponho y₂(1)=0 e y₂’(1)=1. Do sistema
C1 e^-2 + C2 e^-3 = 0,
-2C1 e^-2 - 3C2 e^-3 = 1,
soluciono e obtenho
$$C_1 = e^2,
\quad C_2 = -e^3. C1 = e^2, C2 = -e^3y_2(x) = e^2 e^{-2x} - e^3 e^{-3x} = e^{2-2x} - e^{3-3x}.$$

Resposta

O conjunto fundamental é {y₁,y₂} com
y1(x)=3e^2-2x-2e^3-3x,
y2(x)=e^2-2x-e^3-3x

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