Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 5y'' + 3y' + 9y = 0
e pede a equação característica, suas raízes e a solução geral. Para resolver, usamos o método de tentar y=e^{rx}, obter o polinômio característico, achar suas raízes e montar a solução com base na multiplicidade delas.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} na equação, temos
r^3e^{rx} - 5r^2e^{rx} + 3re^{rx} + 9e^{rx} = 0
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^3 - 5r^2 + 3r + 9 = 0.

Passo 3

Para encontrar as raízes, testamos raízes inteiras. Substituindo r=-1:
(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) + 9 = -1 - 5 - 3 + 9 = 0,
logo r=-1 é raiz. Dividindo o polinômio por (r+1) obtemos
r^3 - 5r^2 + 3r + 9 = (r+1)\,(r^2 - 6r + 9).
O fator quadrático fixa
r^2 - 6r + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r=3\quad(\text{raiz dupla}).

Passo 4

Temos então uma raiz simples r=-1 e uma raiz dupla r=3. A solução geral de uma EDO linear com essas raízes é
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x} + C_3\,x\,e^{3x},
onde C_1,\,C_2,\,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x} + C_3\,x\,e^{3x}.

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