Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' - 4y' - 12y = 0
O conteúdo é método de equação característica: assumimos solução do tipo y=e^{rx}, substituímos na EDO e obtemos um polinômio em r. Depois fatoramos esse polinômio, encontramos as raízes e, com elas, construímos a solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^{rx} temos
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y''' = r^3 e^{rx}
Substituindo na EDO e dividindo por e^{rx}\neq0, obtém-se a equação característica
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0

Passo 3

Para achar as raízes tentamos valores inteiros. Note que para r=2
2^3 + 3\cdot2^2 - 4\cdot2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0,
logo r=2 é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial de r^3+3r^2-4r-12 por r-2 obtemos
r^3 +3r^2 -4r -12 = (r-2)(r^2 +5r +6).
Resolvendo r^2+5r+6=0 por fatoração:
r^2 + 5r + 6 = (r+2)(r+3)=0
dá as raízes r=-2 e r=-3.

Passo 4

Como as raízes r=2,\,-2,\,-3 são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x) = C_{1}\,e^{2x} \;+\; C_{2}\,e^{-2x} \;+\; C_{3}\,e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{2x} + C_{2}e^{-2x} + C_{3}e^{-3x}.

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