Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime}-36 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 36\,y = 0
O método para resolver esse tipo de ED é assumir uma solução do tipo y=e^{r x} e obter a equação característica.

Passo 2

Assumindo y=e^{r x}, temos
y' = r e^{r x},\quad y''=r^2 e^{r x}.
Substituindo na ED:
r^2 e^{r x} - 36\,e^{r x} = 0
Como e^{r x}\neq0, a equação característica fica
r^2 - 36 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 36 = (r - 6)(r + 6) = 0
obtemos as raízes
r_1 = 6,\quad r_2 = -6.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da ED é dada por
y(x) = C_1\,e^{6x} + C_2\,e^{-6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 e^{6x} + C_2 e^{-6x}

Exercícios relacionados