Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO homogênea linear de terceira ordem
y''' - y = 0
com coeficientes constantes. Para resolver, usamos o método do polinômio característico, que transforma a EDO num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos solução da forma y = e^{rx}. Então
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituindo em y''' - y = 0 obtemos
r^3 e^{rx} - e^{rx} = 0 \;\Longrightarrow\; e^{rx}(r^3 - 1) = 0.
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^3 - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^3 = 1
temos as três raízes da unidade:
r_1 = 1, \quad r_{2,3} = -\tfrac12 \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.

Passo 4

Como r_1 é real e r_{2,3} são complexas conjugadas, a solução geral em forma real é
y(x) = C_1 e^{x} + e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl[C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr],
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

Equação característica:
r^3 - 1 = 0.
Raízes:
r_1 = 1, \quad r_{2,3} = -\tfrac12 \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.
Solução geral:
y(x) = C_1 e^{x} + e^{-\tfrac{x}{2}}\Bigl[C_2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+C_3\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr].

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