Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{3} u}{d t^{3}}+\frac{d^{2} u}{d t^{2}}-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
\frac{d^{3}u}{dt^{3}}+\frac{d^{2}u}{dt^{2}}-2\,u=0.
O método consiste em montar a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Substituímos u(t)=e^{r t} na equação diferencial para obter a equação característica:
r^{3}+r^{2}-2=0.

Passo 3

Para resolver
r^{3}+r^{2}-2=0
testamos r=1:
1^{3}+1^{2}-2=0,
logo r=1 é raiz. Dividindo o polinômio por (r-1) obtemos
r^{3}+r^{2}-2=(r-1)(r^{2}+2r+2).
As raízes do trinômio r^{2}+2r+2=0 são
r=-1\pm i.

Passo 4

Como as raízes são r_{1}=1 (real simples) e r_{2,3}=-1\pm i (complexas conjugadas), a solução geral é
u(t)=C_{1}e^{t}+e^{-t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação característica é
r^{3}+r^{2}-2=0,
suas raízes são
r_{1}=1,\quad r_{2,3}=-1\pm i,
e a solução geral é
u(t)=C_{1}e^{t}+e^{-t}\bigl(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\bigr).

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