Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 4y'' - 5y' = 0
Aqui usaremos o método da equação característica: assumimos uma solução da forma y=e^{rx}, transformamos a EDO num polinômio em r, encontramos suas raízes e montamos a solução geral como combinação linear dos e^{r x}.

Passo 2

Assumindo y=e^{rx} temos
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituindo na EDO e dividindo por e^{rx}\neq0 obtemos a equação característica em r:
r^3 - 4r^2 - 5r = 0.

Passo 3

O polinômio r^3 - 4r^2 - 5r pode ser fatorado em
r\,(r^2 - 4r - 5) = 0.
Para r^2 - 4r - 5 = 0 aplicamos a fórmula de Bhaskara: o discriminante é \Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 36, de onde
r = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}\;\Longrightarrow\;r = 5\quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo, as raízes são
r_1 = 0,\quad r_2 = 5,\quad r_3 = -1.

Passo 4

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear dos expoentes correspondentes:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{5x} + C_3 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{5x} + C_3 e^{-x},
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

Equação característica:
r^3 - 4r^2 - 5r = 0.
Raízes:
r = 0,\quad r = 5,\quad r = -1.
Solução geral:
y(x) = C_1 + C_2 e^{5x} + C_3 e^{-x}.

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