Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
Aqui usaremos o método da equação característica: assumimos uma solução da forma
, transformamos a EDO num polinômio em
, encontramos suas raízes e montamos a solução geral como combinação linear dos
.
Passo 2
Assumindo
temos
Substituindo na EDO e dividindo por
obtemos a equação característica em
:
Passo 3
O polinômio
pode ser fatorado em
Para
aplicamos a fórmula de Bhaskara: o discriminante é
, de onde
Logo, as raízes são
Passo 4
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear dos expoentes correspondentes:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
Equação característica:
Raízes:
Solução geral: