Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
\frac{d^{3} x}{d t^{3}}-\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-4 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{3}x}{dt^{3}} \;-\;\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\;-\;4x=0
e pede (i) a equação característica, (ii) suas raízes e (iii) a solução geral. Para resolver, usaremos o método de tentar soluções do tipo x(t)=e^{rt}.

Passo 2

Supondo x(t)=e^{rt}, temos
\frac{d^{3}x}{dt^{3}}=r^{3}e^{rt},\quad \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=r^{2}e^{rt},\quad x=e^{rt},
logo, substituindo na equação diferencial, divide-se por e^{rt}\neq0 e obtém-se a equação característica
r^{3}-r^{2}-4=0.

Passo 3

Para encontrar as raízes de
r^{3}-r^{2}-4=0
testa-se r=2:
2^{3}-2^{2}-4=8-4-4=0,
logo r_{1}=2 é raiz. Fatorando
r^{3}-r^{2}-4=(r-2)(r^{2}+r+2)=0,
as raízes da parte quadrática vêm de
r^{2}+r+2=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2} =\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}.
Portanto
r_{2}=-\tfrac12+\tfrac{i\sqrt7}{2}, \quad r_{3}=-\tfrac12-\tfrac{i\sqrt7}{2}.

Passo 4

Como há uma raiz real r_{1}=2 e um par de raízes complexas conjugadas r_{2,3}=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt7}{2}, a solução geral é
x(t)=C_{1}e^{2t} \;+\;e^{-\tfrac t2}\Bigl(C_{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+C_{3}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\Bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Resposta

\text{Equação característica: }r^{3}-r^{2}-4=0.çãí
\text{Raízes: }r_{1}=2,\quad r_{2,3}=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt7}{2}.í
\text{Solução geral: }x(t)=C_{1}e^{2t} +e^{-\tfrac t2}\bigl(C_{2}\cos(\tfrac{\sqrt7}{2}t)+C_{3}\sin(\tfrac{\sqrt7}{2}t)\bigr).çã

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