Determine a equação característica para cada ED abaixo, encontre suas raízes e determine as soluções:
y^{(4)}+y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem 4
y^{(4)} + y''' + y'' = 0
Usamos o método de coeficientes constantes: assumimos y=e^{rx} e obtemos a equação característica em r.

Passo 2

Substituindo y=e^{rx} temos
r^4e^{rx} + r^3e^{rx} + r^2e^{rx}=0
Como e^{rx}\neq0, tiramos fator comum e obtemos a equação característica
r^4 + r^3 + r^2 = 0.

Passo 3

Fatoramos
r^4 + r^3 + r^2 = r^2\bigl(r^2 + r + 1\bigr)=0.
Portanto as raízes são
1. r^2=0 \Rightarrow r_1=0, r_2=0 (raiz dupla);
2. r^2+r+1=0 \Rightarrow
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = -\tfrac12 \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.
Chamemos essas r_3=-\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}i e r_4=-\tfrac12 - \tfrac{\sqrt3}{2}i.

Passo 4

Como r=0 é raiz dupla, gera duas soluções independentes e^{0x}=1 e x\,e^{0x}=x. As raízes complexas conjugadas geram a solução real
e^{-x/2}\Bigl(A\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+B\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr).
Logo a solução geral é
y(x) = C_1 + C_2\,x + e^{-x/2}\Bigl(C_3\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+C_4\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr),
com C_1,C_2,C_3,C_4 constantes arbitrárias.

Resposta

A equação característica é
r^4 + r^3 + r^2 = 0 \;\Longrightarrow\; r^2(r^2 + r + 1)=0,
com raízes r=0 (dupla) e r=-\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i. A solução geral é
y(x) = C_1 + C_2\,x + e^{-x/2}\Bigl(C_3\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+C_4\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr).

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