Determine a equação cartesiana e esboce a curva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a equação cartesiana a partir das equações paramétricas dadas e depois esboçar a curva resultante. A matéria que estamos mexendo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre como transformar equações paramétricas em uma única equação no plano cartesiano. Para isso, a gente vai precisar manipular as equações para eliminar o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações paramétricas que temos:
Nosso objetivo é eliminar o
dessas equações para achar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar isolando o
na primeira equação. Como
, podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Mas atenção! Como
pode ser positivo ou negativo, na verdade temos duas possibilidades:
Passo 4
Agora, vamos usar essa expressão de
na segunda equação
. Substituindo:
Ou, se considerarmos
:
Isso nos mostra que para cada
,
pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de
.
Passo 5
Para eliminar completamente o parâmetro
, vamos relacionar
e
diretamente. Sabemos que:
E também que:
Substituindo
na equação
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora temos a equação cartesiana que relaciona
e
:
Passo 7
Vamos esboçar a curva dessa equação. A equação
representa uma curva chamada parábola semi-cúbica. Ela tem a forma de uma curva que passa pela origem
e se estende para a direita, com os ramos se abrindo para cima e para baixo. Não existe parte da curva para
, já que
é negativo e
não pode ser negativo.
Resposta
A equação cartesiana é
. A curva resultante é uma parábola semi-cúbica que passa pela origem e se estende para a direita, com ramos abrindo para cima e para baixo.