Determine a equação cartesiana e esboce a curva:
x(t)=t^2 y(t)=t^3 t in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a equação cartesiana a partir das equações paramétricas dadas e depois esboçar a curva resultante. A matéria que estamos mexendo aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre como transformar equações paramétricas em uma única equação no plano cartesiano. Para isso, a gente vai precisar manipular as equações para eliminar o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas que temos:
x(t) = t^2
y(t) = t^3
Nosso objetivo é eliminar o dessas equações para achar uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar isolando o t = raizx na primeira equação. Como t = raizx ou t = -raizx , podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Mas atenção! Como pode ser positivo ou negativo, na verdade temos duas possibilidades:

Passo 4

Agora, vamos usar essa expressão de y = (raizx)^3 = x^32 na segunda equação y = (-raizx)^3 = -x^32 . Substituindo:
Ou, se considerarmos :
Isso nos mostra que para cada , pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de .

Passo 5

Para eliminar completamente o parâmetro y = t cdot x , vamos relacionar t^2 = x e ( yx )^2 = x diretamente. Sabemos que:
y^2x^2 = x
E também que:
y^2 = x^3
Substituindo na equação , temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora temos a equação cartesiana que relaciona y^2 = x^3 e :

Passo 7

Vamos esboçar a curva dessa equação. A equação representa uma curva chamada parábola semi-cúbica. Ela tem a forma de uma curva que passa pela origem e se estende para a direita, com os ramos se abrindo para cima e para baixo. Não existe parte da curva para , já que é negativo e não pode ser negativo.

Resposta

A equação cartesiana é . A curva resultante é uma parábola semi-cúbica que passa pela origem e se estende para a direita, com ramos abrindo para cima e para baixo.

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