Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=6 que está abaixo do cone z=-raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da esfera x^2+y^2+z^2=6 que satisfaz z<= -raizx^2+y^2. Vamos usar coordenadas esféricas para descrever essa superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as relações:
x=raiz6,sinvarphicostheta,
y=raiz6,sinvarphisintheta,
z=raiz6,cosvarphi,
com 0<=theta<2pi e 0<=varphi<=pi.

Passo 3

Para impor a condição de ficar abaixo do cone z=-raizx^2+y^2 escrevemos em esféricas:
raiz6,cosvarphi<= -raiz6,sinvarphi
Isso equivale a cosvarphi+sinvarphi<=0, ou seja
varphiinl[tfrac3pi4,,pir]

Passo 4

Portanto, a parametrização da parte pedida é
r(varphi,theta)=l(raiz6,sinvarphicostheta,;raiz6,sinvarphisintheta,;raiz6,cosvarphir)
com
0<=theta<2pi, tfrac3pi4<=varphi<=pi

Resposta

A parametrização é
r(varphi,theta)=l(raiz6,sinvarphicostheta,;raiz6,sinvarphisintheta,;raiz6,cosvarphir),
com
0<=theta<2pi,3pi4<=varphi<=pi

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