Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A metade inferior do elipsoide x^2+4 y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da metade inferior (isto é, onde z<=0) do elipsoide x^2+4y^2+z^2=1. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e depois fazer a mudança de escala para transformar a esfera unidade no elipsoide.

Passo 2

Para a esfera unidade x^2+y^2+z^2=1, uma parametrização padrão em coordenadas esféricas é
x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
com phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. Aqui phi é o ângulo polar (medido a partir de z>0).

Passo 3

Como queremos o elipsoide x^2+4y^2+z^2=1, identificamos as semi-axes:
a=1, b=tfrac12, c=1
Basta então escalar as coordenadas da esfera: x pelo fator a=1, y pelo fator b=1/2 e z pelo fator c=1.

Passo 4

Para ficar só a metade inferior do elipsoide, precisamos ter z=cosphi<=0, ou seja phiin[tfracpi2,pi]. O ângulo theta percorre [0,2pi]. Portanto a parametrização final é
r(phi,theta)=l(sinphicostheta,,tfrac12sinphisintheta,,cosphir),
com
phiinl[tfracpi2,pir], thetain[0,2pi]

Resposta

A parametrização é
$$\n\mathbf r(\phi,\theta)=\bigl(\sin\phi\cos\theta,,\tfrac12\sin\phi\sin\theta,,\cos\phi\bigr),
$$
com n r(phi,theta)=l(sinphicostheta,,tfrac12sinphisintheta,,cosphir), e phiin[tfracpi2,pi].

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