Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A metade inferior do elipsoide
A metade inferior do elipsoide
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da metade inferior (isto é, onde
) do elipsoide
. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e depois fazer a mudança de escala para transformar a esfera unidade no elipsoide.
Passo 2
Para a esfera unidade
, uma parametrização padrão em coordenadas esféricas é
com
e
. Aqui
é o ângulo polar (medido a partir de
).
Passo 3
Como queremos o elipsoide
, identificamos as semi-axes:
Basta então escalar as coordenadas da esfera: x pelo fator
, y pelo fator
e z pelo fator
.
Passo 4
Para ficar só a metade inferior do elipsoide, precisamos ter
, ou seja
. O ângulo
percorre
. Portanto a parametrização final é
com
Resposta
A parametrização é
$$\n\mathbf r(\phi,\theta)=\bigl(\sin\phi\cos\theta,,\tfrac12\sin\phi\sin\theta,,\cos\phi\bigr),
$$
com e
.
com