Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
x=u^2, y=v^2, z=u v ; u=1, v=2

Passo 1

Temos uma superfície parametrizada por x=u², y=v² e z=u v, e queremos achar a equação do plano tangente no ponto dado por u=1 e v=2. O tema aqui é plano tangente a superfícies paramétricas, e vamos precisar dos vetores tangentes (derivadas parciais) e do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, definimos o vetor posição da superfície e calculamos suas derivadas parciais em relação a u e v. Assim obtemos dois vetores tangentes.
r(u,v) = (u^2,;v^2,;u v)
ru = (2u,;0,;v), rv = (0,;2v,;u)

Passo 3

Agora, avaliamos esses vetores tangentes no ponto (u,v)=(1,2) para ter valores numéricos.
ru(1,2) = (2,;0,;2), rv(1,2) = (0,;4,;1)

Passo 4

Com esses vetores, calculamos o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano tangente.
n = ru(1,2) times rv(1,2) = i & j & k 2 & 0 & 2 0 & 4 & 1 = (-8,;-2,;8)

Passo 5

Podemos retirar o fator comum -2 para simplificar o vetor normal.
(-8, -2, 8) = -2,(4,1,-4) ;Longrightarrow; (4,1,-4)

Passo 6

Em seguida, achamos as coordenadas do ponto de tangência na superfície e montamos a equação do plano usando n·((x,y,z)−P)=0.
P = (1^2,;2^2,;1cdot2) = (1,4,2)
4(x-1) + 1(y-4) - 4(z-2) = 0

Passo 7

Finalmente, simplificamos a equação para a forma mais compacta.
4x -4 + y -4 -4z +8 = 0
4x + y - 4z = 0

Resposta

4x + y - 4z = 0

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