Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.
Passo 1
Temos uma superfície parametrizada por x=u², y=v² e z=u v, e queremos achar a equação do plano tangente no ponto dado por u=1 e v=2. O tema aqui é plano tangente a superfícies paramétricas, e vamos precisar dos vetores tangentes (derivadas parciais) e do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, definimos o vetor posição da superfície e calculamos suas derivadas parciais em relação a u e v. Assim obtemos dois vetores tangentes.
Passo 3
Agora, avaliamos esses vetores tangentes no ponto (u,v)=(1,2) para ter valores numéricos.
Passo 4
Com esses vetores, calculamos o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Podemos retirar o fator comum -2 para simplificar o vetor normal.
Passo 6
Em seguida, achamos as coordenadas do ponto de tangência na superfície e montamos a equação do plano usando n·((x,y,z)−P)=0.
Passo 7
Finalmente, simplificamos a equação para a forma mais compacta.
Resposta
4x + y - 4z = 0