Determine a equação cartesiana (geral) do plano
em cada um dos seguintes casos:
passa pelo ponto
e é paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
O enunciado pede a equação cartesiana (forma geral) do plano
sabendo que:
-
passa pelo ponto . -
é paralelo ao plano de equação .
O objetivo final é escrever a equação na forma geral
(ou equivalente) do plano
.
Passo 2
Conceito importante: a equação geral de um plano é
onde o vetor normal ao plano é
. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que fique dentro do plano. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (proporcionais).
No plano dado
o vetor normal é
Portanto, qualquer plano paralelo a esse terá um vetor normal proporcional a
. Para simplificar, podemos escolher a mesma normal
(multiplicar por escalares apenas mudaria todos os coeficientes por um mesmo fator, levando a uma equação equivalente).
Passo 3
Usando a normal escolhida
, a equação do plano
tem a forma
onde
é uma constante desconhecida que desloca o plano ao longo da direção do vetor normal.
Passo 4
Como
passa por
, basta substituir as coordenadas de
na equação para determinar
. Substituindo
,
,
obtemos:
Isso reduz a
logo
Passo 5
Substituindo
na equação geral do plano, a equação de
fica
Ou, escrita de forma equivalente isolando o membro da direita,