Determine a equação cartesiana (geral) do plano \pi em cada um dos seguintes casos:
\pi passa pelo ponto Q=(1,0,0) e é paralelo ao plano de equação 2 x-y+3 z=5.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana (forma geral) do plano \pi sabendo que:
  • \pi passa pelo ponto Q=(1,0,0).
  • \pi é paralelo ao plano de equação 2x - y + 3z = 5.
O objetivo final é escrever a equação na forma geral ax+by+cz+d=0 (ou equivalente) do plano \pi.

Passo 2

Conceito importante: a equação geral de um plano é
ax+by+cz+d=0,
onde o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). O vetor normal é perpendicular a todo vetor que fique dentro do plano. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (proporcionais).
No plano dado 2x-y+3z=5 o vetor normal é
\mathbf{n}_0=(2,-1,3).
Portanto, qualquer plano paralelo a esse terá um vetor normal proporcional a \mathbf{n}_0. Para simplificar, podemos escolher a mesma normal \mathbf{n}=(2,-1,3) (multiplicar por escalares apenas mudaria todos os coeficientes por um mesmo fator, levando a uma equação equivalente).

Passo 3

Usando a normal escolhida \mathbf{n}=(2,-1,3), a equação do plano \pi tem a forma
2x - y + 3z + d = 0,
onde d é uma constante desconhecida que desloca o plano ao longo da direção do vetor normal.

Passo 4

Como \pi passa por Q=(1,0,0), basta substituir as coordenadas de Q na equação para determinar d. Substituindo x=1, y=0, z=0 obtemos:
2\cdot 1 - 0 + 3\cdot 0 + d = 0.
Isso reduz a
2 + d = 0,
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d = -2.

Passo 5

Substituindo d=-2 na equação geral do plano, a equação de \pi fica
2x - y + 3z - 2 = 0.
Ou, escrita de forma equivalente isolando o membro da direita,
2x - y + 3z = 2.

Resposta

2x - y + 3z - 2 = 0

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