5 Determine a equação cartesiana do plano pi:lx=-2+2 alpha-beta y=3-3 alpha+3 beta z=1+alpha-2 beta

Passo 1

O enunciado dá a representação paramétrica do plano pi em R^3 usando os parâmetros alpha e beta:
x=-2+2alpha-beta, y=3-3alpha+3beta, z=1+alpha-2beta
Queremos a equação cartesiana, isto é, encontrar uma normal ao plano e escrever
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0
Para isso precisamos extrair dois vetores diretores do plano e calcular seu produto vetorial.

Passo 2

Os vetores diretores correspondem aos coeficientes de alpha e de beta. Assim:
v1=partial(x,y,z)partialalpha=(2,,-3,,1), v2=partial(x,y,z)partialbeta=(-1,,3,,-2)

Passo 3

A normal n ao plano é dada pelo produto vetorial v1times v2. Calculamos componente a componente:
n=v1times v2 =l((-3)(-2)-1cdot3,;1cdot(-1)-2cdot(-2),;2cdot3-(-3)(-1)r) =(3,,3,,3)
Dividindo por 3, uma normal simplificada é
n=(1,1,1)

Passo 4

Escolhemos um ponto P0 qualquer do plano, por exemplo alpha=0,beta=0
P0=(-2,,3,,1)

Passo 5

A equação cartesiana vem de
(1,1,1)cdotl((x,y,z)-(-2,3,1)r)=0
ou seja
1cdot(x+2)+1cdot(y-3)+1cdot(z-1)=0
Longrightarrow x+y+z-2=0

Resposta

A equação cartesiana do plano é
x+y+z=2

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