Podemos definir uma bijeção entre os elementos de Pn e de R^n por
p(x)=a1+a2 x+ldots+an x^n-1 rightarrow(a1, ldots, an)^T=a
Mostre que, se p rightarrow a e q rightarrow b, então
alpha p rightarrow alpha a qualquer que seja o escalar alpha;

Passo 1

O enunciado trata da bijeção entre o espaço de polinômios de grau <= n-1, Pn, e R^n, dada por
p(x)=a1+a2x+cdots+anx^n-1 ;long<=ftrightarrow; a=(a1,ldots,an)^T
O que precisamos mostrar é que, para qualquer escalar alpha, a multiplicação em Pn corresponde à multiplicação em R^n, ou seja,
alpha p ;long<=ftrightarrow;alpha a

Passo 2

Começamos aplicando o escalar alpha ao polinômio p. Por definição de multiplicação em Pn, temos
alpha p(x) = alphal(a1+a2x+cdots+anx^n-1r) = (alpha a1)+(alpha a2)x+cdots+(alpha an)x^n-1
Portanto os coeficientes do novo polinômio são alpha a1,alpha a2,dots,alpha an.

Passo 3

Pela própria bijeção, o polinômio alpha p corresponde ao vetor dos seus coeficientes:
(alpha a1,alpha a2,dots,alpha an)^T
Mas esse vetor é exatamente alpha,(a1,a2,dots,an)^T=alpha,a. Logo
alpha p ;long<=ftrightarrow;alpha a

Resposta

alpha p rightarrow alpha a

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