Verifique se os planos π1 e π2 abaixo são iguais. Justifique.
π1:lx=1-alpha+2 beta y=6+alpha+3 beta z=2+alpha-beta π2:lx=3+3 alpha-2 beta y=9+2 alpha-3 beta z=1-2 alpha+beta

Passo 1

Resumindo, temos dois planos dados em forma paramétrica:
Para verificar se eles são iguais, vou extrair os vetores diretores de cada um, computar seus normais e checar se um ponto de satisfaz a equação cartesiana de .

Passo 2

No plano pi1 os vetores diretores são
v1=partial(x,y,z)partialalpha=(-1,1,1) v2=partial(x,y,z)partialbeta=(2,3,-1)
O normal a pi1 é
n1=v1times v2 = i&j&k -1&1&1 2&3&-1 =(-4,1,-5)

Passo 3

Uma equação cartesiana de pi1 pode ser obtida usando o ponto P1=(1,6,2) (caso alpha=0,beta=0) e o normal n1.
-4(x-1)+1(y-6)-5(z-2)=0 Longrightarrow 4x -y +5z -8=0

Passo 4

No plano pi2 os vetores diretores são
u1=partial(x,y,z)partialalpha=(3,2,-2) u2=partial(x,y,z)partialbeta=(-2,-3,1)
O normal a pi2 é
n2=u1times u2 = i&j&k 3&2&-2 -2&-3&1 =(-4,1,-5),
que coincide com n1.

Passo 5

Como n2 é paralelo a n1, os planos são paralelos ou coincidentes. Para decidir, vejo se um ponto de pi2 satisfaz a equação de pi1.

Passo 6

Tomando alpha=0,beta=0 em pi2, o ponto é P2=(3,9,1). Substituindo em 4x -y +5z -8=0:
4cdot3 -9 +5cdot1 -8 =12 -9 +5 -8 =0,
logo P2 pertence a pi1.

Resposta

Os dois planos coincidem, ou seja, pi1=pi2.

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