Verifique se os planos π1 e π2 abaixo são iguais. Justifique.
π1:lx=2+alpha-12 beta y=2-alpha+23 beta z=1+2 alpha-beta π2:lx=21 alpha-3 beta y=1+alpha+4 beta z=3-2 alpha-6 beta

Passo 1

O enunciado nos dá duas representações paramétricas de planos em R^3,
pi1: x=2+alpha-tfrac12beta, y=2-alpha+tfrac23beta, z=1+2alpha-beta, pi2: x=2+alpha-3beta, y=1+alpha+4beta, z=3-2alpha-6beta
Queremos saber se eles definem exatamente o mesmo plano. Em geometria analítica, dois planos coincidem se, e somente se, têm direções (normais) colineares e um ponto de um está no outro.

Passo 2

Extraímos de cada representação a base de direções e um ponto qualquer do plano.
Para pi1:
vec v1=partial(x,y,z)partialalpha=(1,-1,2), vec v2=partial(x,y,z)partialbeta=(-tfrac12,tfrac23,-1),
e um ponto P1=(2,2,1) (obtido zerando alpha,beta).
Para pi2:
vec u1=(1,1,-2), vec u2=(-3,4,-6),
e um ponto P2=(2,1,3).

Passo 3

Calculamos o vetor normal de cada plano via produto vetorial.
Para pi1:
vec n1=vec v1timesvec v2 = i&j&k 1&-1&2 -tfrac12&tfrac23&-1 =l(-tfrac13,,0,,tfrac16r) sim(-2,0,1)
Para pi2:
vec n2=vec u1timesvec u2 = i&j&k 1&1&-2 -3&4&-6 =(2,12,7)

Passo 4

Verificamos se vec n1 e vec n2 são colineares, ou seja, existe lambda tal que
(-2,0,1)=lambda,(2,12,7)
Comparando coordenada a coordenada não há valor de lambda que satisfaça simultaneamente
-2=2lambda,;0=12lambda,;1=7lambda. Logo, vec n1 e vec n2 não são paralelos.

Passo 5

Como os vectores normais não são colineares, os planos pi1 e pi2 não são iguais (nem paralelos).

Resposta

Os planos pi1 e pi2 não são iguais.

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