Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contem a reta r de equação r:lx=1-2 t y=2+t z=-3-t t in R e é paralel0 ao vetor 1,2,-3

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano
e é paralelo ao vetor ((1,2,-3)]. Para achar a equação de um plano precisamos de um vetor normal a ele e de um ponto contido no plano. Dois vetores diretores não colineares contidos no plano permitem calcular esse normal via produto vetorial.

Passo 2

Extraímos da reta r um vetor diretor e um ponto. A direção é
v =(-2,1,-1),
e, escolhendo t=0, obtemos o ponto
P0=(1,2,-3)

Passo 3

O plano é também paralelo ao vetor dado
u=(1,2,-3)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é o produto vetorial vtimes u:
n = i & j & k -2 & 1 & -1 1 & 2 & -3 =(-1,,-7,,-5)

Passo 5

A equação cartesiana geral do plano, usando n e P0, é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0
Substituindo n=(-1,-7,-5) e P0=(1,2,-3):
-1(x-1)-7(y-2)-5(z+3)=0
que simplifica para
x+7y+5z=0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
x+7y+5z=0

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