Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contém os pontos A=(0,1,0), B=(1,2,0) e $C=(1,1,3);

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano pi que passa pelos pontos
A=(0,1,0), B=(1,2,0), C=(1,1,3)
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: para achar a equação de um plano precisamos de um vetor normal n a ele e de um ponto (por exemplo A).

Passo 2

Vamos obter dois vetores diretores do plano, tirando diferença entre os pontos:
AB=B-A=(1,2,0)-(0,1,0)=(1,1,0),
AC=C-A=(1,1,3)-(0,1,0)=(1,0,3)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = ABtimes AC
Calculando:
n = i&j&k 1&1&0 1&0&3 =(1cdot3-0cdot0),i - (1cdot3-0cdot1),j + (1cdot0-1cdot1),k =(3,-3,-1)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(3,-3,-1) passando por A=(0,1,0) vem de
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
Isto é,
(3,-3,-1)cdot(x-0,;y-1,;z-0)=0
3x -3(y-1) -1cdot z =0
3x -3y +3 - z =0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
3x -3y - z +3 = 0

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