Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar três matrizes 3times 3 por si mesmas certas vezes e verificar que o resultado é a matriz identidade I3. O conteúdo que vamos usar é a definição de produto de matrizes e o fato de que, em matrizes triangulares, os elementos da diagonal principal se elevam à potência enquanto os demais seguem somas de produtos.

Passo 2

Seja
A = -1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos calcular
A^2 = A cdot A
O elemento (1,1) de A^2 é
(-1)cdot(-1)+(-1)cdot0+(-1)cdot0 = 1,
o elemento (1,2) é
(-1)cdot(-1)+(-1)cdot1+(-1)cdot0=1-1=0,
o elemento (1,3) é
(-1)cdot(-1)+(-1)cdot0+(-1)cdot1=1-1=0,
e fica fácil ver que as outras entradas produzem exatamente a segunda e terceira linhas de I3. Portanto
A^2 = I3

Passo 3

Seja
B = 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Primeiro calculemos
B^2 = Bcdot B = 0 & 1 & -1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1
Em seguida
B^3 = B^2cdot B = 0 & 1 & -2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 1
Como a entrada (1,3) de B^3 vale -2neq0 e a (2,3) vale -3neq0, concluímos
B^3 neq I3

Passo 4

Seja
C = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1
Fazendo as contas de C^2,,C^3 e finalmente
C^4 = I3,
verifica-se que os termos fora da diagonal anulam-se e a diagonal fica (1,1,1).

Passo 5

Reunindo os resultados:
A^2 = I3, B^3 = 0&1&-20&1&-30&0&1neq I3, C^4 = I3
Logo, ao contrário do que afirma o enunciado, apenas A^2 e C^4 são iguais a I3; B^3 não o é.

Resposta

A igualdade dada é válida para as matrizes A e C, mas falha para B, pois
B^3 = 0&1&-20&1&-30&0&1neq I3

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