Determine a equação cartesiana do plano
perpendicular ao plano : que passa pelos pontos e
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos determinar a equação cartesiana do plano que é perpendicular ao plano
e passa pelos pontos e . O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: usamos que dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares e que o vetor normal de um plano é perpendicular a qualquer vetor contido nele.
Passo 2
Vamos determinar o vetor e o vetor normal n1 do plano dado.
Calculamos AB = B - A = (3-2,,-7-(-6),,5-4) = (1,-1,1).
O vetor normal de Pi é n1 = (4,-3,2).
Passo 3
Para que o novo plano seja perpendicular a Pi, seu vetor normal n2 deve satisfazer n2cdot n1=0. Além disso, como n2 é normal ao plano que contém AB, ele também deve ser perpendicular a AB. Assim, calculamos n2 pelo produto vetorial:
n2 = ABtimes n1
Aplicando:
(1,-1,1)times(4,-3,2) = (1,2,1)
Logo, n2 = (1,2,1).
Passo 4
A equação cartesiana do plano com normal n2=(1,2,1) que passa por A é dada por
1(x-2) + 2(y+6) + 1(z-4) = 0
Simplificando:
x + 2y + z + 6 = 0
Passo 5
Para verificar que B também pertence ao plano, substituímos B=(3,-7,5):