Determine a equação cartesiana do plano
perpendicular ao plano Pi : 4 x-3 y+2 z=9 que passa pelos pontos A=(2,-6,4) e B= (3,-7,5)

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos determinar a equação cartesiana do plano que é perpendicular ao plano
4x - 3y + 2z = 9
e passa pelos pontos A = (2, -6, 4) e B = (3, -7, 5). O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: usamos que dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares e que o vetor normal de um plano é perpendicular a qualquer vetor contido nele.

Passo 2

Vamos determinar o vetor AB e o vetor normal n1 do plano dado.
Calculamos
AB = B - A = (3-2,,-7-(-6),,5-4) = (1,-1,1).
O vetor normal de Pi é
n1 = (4,-3,2).

Passo 3

Para que o novo plano seja perpendicular a Pi, seu vetor normal n2 deve satisfazer n2cdot n1=0. Além disso, como n2 é normal ao plano que contém AB, ele também deve ser perpendicular a AB. Assim, calculamos n2 pelo produto vetorial:
n2 = ABtimes n1
Aplicando:
(1,-1,1)times(4,-3,2) = (1,2,1)
Logo, n2 = (1,2,1).

Passo 4

A equação cartesiana do plano com normal n2=(1,2,1) que passa por A é dada por
1(x-2) + 2(y+6) + 1(z-4) = 0
Simplificando:
x + 2y + z + 6 = 0

Passo 5

Para verificar que B também pertence ao plano, substituímos B=(3,-7,5):
3 + 2(-7) + 5 + 6 = 3 - 14 + 5 + 6 = 0,
logo B satisfaz a equação.

Resposta

x + 2y + z + 6 = 0

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