Determine a equação cartesiana do plano
perpendicular ao plano PiX Y que passa pelos pontos A=(2,-2,11) e B=(-7,-8,-3)

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de um plano perpendicular ao plano PiXY que passa pelos pontos A=(2,-2,11) e B=(-7,-8,-3). Vamos usar geometria de planos, em particular a relação entre normais e perpendicularidade.

Passo 2

O plano PiXY tem vetor normal (0,0,1). Um plano perpendeicular a PiXY deve ter seu vetor normal n=(a,b,c) ortogonal a (0,0,1), ou seja,
ncdot(0,0,1)=c=0
Logo o vetor normal do plano procurado é da forma (a,b,0).

Passo 3

Uma equação cartesiana de um plano com normal (a,b,0) pode ser escrita como
ax+by+d=0
Como A e B estão no plano, suas coordenadas (x,y) satisfazem
2a -2b + d = 0,
-7a -8b + d = 0

Passo 4

Subtraindo as duas equações eliminamos d:
(2a -2b) -(-7a -8b) = 0 Longrightarrow 9a + 6b = 0 Longrightarrow 3a + 2b = 0 Longrightarrow b = -tfrac32a
Para evitar frações, escolhemos a=2, daí b=-3. Substituindo em 2a -2b + d=0:
4 + 6 + d = 0 Longrightarrow d = -10

Resposta

A equação cartesiana do plano é
2x - 3y - 10 = 0

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