Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contém os pontos A=(1,1,0), B=(0,1,0) e $C=(1,-1,1);

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano pi que contém os pontos
A=(1,1,0), B=(0,1,0), C=(1,-1,1)
Para isso, vamos usar que um plano pode ser escrito como
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0,
onde n é um vetor normal ao plano. Precisamos então (1) obter dois vetores do plano, (2) calcular o produto vetorial para achar n e (3) montar a equação.

Passo 2

Escolhemos os vetores AB e AC no próprio plano:
AB=B-A=(0-1,;1-1,;0-0)=(-1,0,0),
AC=C-A=(1-1,;-1-1,;1-0)=(0,-2,1)

Passo 3

O vetor normal n é dado por
n=ABtimesAC
Calculando o produto vetorial, obtemos
n = i&j&k -1&0&0 0&-2&1 =(0,,1,,2)

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-normal do plano, tomando A=(1,1,0):
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow (0,1,2)cdot(x-1,y-1,z-0)=0
Isto dá
0,(x-1)+1,(y-1)+2,(z-0)=0 Longrightarrow y-1+2z=0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
boxedy+2z-1=0

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