Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : perpendicular ao vetor v=[4,-4,2] cuja distância ao ponto P=(1,1,2) é 3 unidades;

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de um plano pi que é perpendicular ao vetor vec v = [4,-4,2] e cuja distância até o ponto P=(1,1,2) é 3. Vamos usar:
– A forma geral de um plano com normal (A,B,C) é Ax + By + Cz + D = 0.
– A fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 2

Como o plano é perpendicular a vec v, escolhemos o vetor normal do plano igual a vec n = (4,-4,2). Logo a equação do plano é
4x ;-; 4y ;+; 2z ;+; D ;=; 0,
onde D é a constante a determinar.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância para o ponto P=(1,1,2). Temos
A=4, B=-4, C=2, (x0,y0,z0)=(1,1,2)
O numerador fica
l|4cdot1 + (-4)cdot1 +2cdot2 + Dr| = l|4 -4 +4 + Dr| = l|D + 4r|
O denominador é
raiz4^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6

Passo 4

Como a distância deve ser 3, impomos
l|D + 4r|6 = 3 Longrightarrow l|D + 4r| = 18
Isso gera duas possibilidades:
D + 4 = 18 Longrightarrow D = 14,
ou
D + 4 = -18 Longrightarrow D = -22

Passo 5

Portanto existem dois planos paralelos que satisfazem as condições, correspondendo aos dois sinais da distância:
4x - 4y + 2z + 14 = 0
4x - 4y + 2z - 22 = 0

Resposta

4x - 4y + 2z + 14 = 0
4x - 4y + 2z - 22 = 0

Exercícios relacionados