Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
.
O conjunto das funções ímpares em
.
O conjunto das funções ímpares em
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
, ou seja, todas as funções ímpares em
, e verificar se esse conjunto é linearmente independente.
Conteúdo necessário: definição de combinação linear e independência linear em espaços vetoriais (aqui, vetores funções).
Conteúdo necessário: definição de combinação linear e independência linear em espaços vetoriais (aqui, vetores
Passo 2
Lembrando que um conjunto
é linearmente independente se
como função zero só acontece quando
. Para que
inteiro seja independente, toda parte finita dele teria de satisfazer essa condição.
Passo 3
Basta achar uma relação não trivial entre funções ímpares. Tomemos
ambas ímpares e, portanto, em
. Observe que
mas os coeficientes
e
não são ambos zero. Logo há combinação linear não trivial que dá a função zero, provando dependência.
Resposta
O conjunto das funções ímpares em
é linearmente dependente.