Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em C[-1,1].
O conjunto das funções ímpares em C[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
F = ,fin C[-1,1]mid f(-x) = -f(x), ou seja, todas as funções ímpares em C[-1,1], e verificar se esse conjunto é linearmente independente.
Conteúdo necessário: definição de combinação linear e independência linear em espaços vetoriais (aqui, vetores = funções).

Passo 2

Lembrando que um conjunto f1,dots,fksubset C[-1,1] é linearmente independente se
alpha1 f1 + cdots + alphak fk = 0
como função zero só acontece quando alpha1=cdots=alphak=0. Para que F inteiro seja independente, toda parte finita dele teria de satisfazer essa condição.

Passo 3

Basta achar uma relação não trivial entre funções ímpares. Tomemos
f1(x) = x, f2(x) = 2x,
ambas ímpares e, portanto, em F. Observe que
2,f1(x);-;1,f2(x) ;=;2x - 2x ;=;0,
mas os coeficientes alpha1=2 e alpha2=-1 não são ambos zero. Logo há combinação linear não trivial que dá a função zero, provando dependência.

Resposta

O conjunto das funções ímpares em C[-1,1] é linearmente dependente.

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