Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : contem a reta r de equação r: x & =1+2 t y & =-2-3 t z & =3+t t in R e é paralelo ao vetor [-2,1,3]

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano
e é paralelo ao vetor ([-2,1,3]]. Vamos usar o ponto e o vetor diretor da reta, mais o vetor paralelo dado, para encontrar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Da reta r obtemos um ponto e um vetor diretor:
Ponto P0=(1,-2,3) (para t=0) e vetor diretor
v1=(2,-3,1)

Passo 3

Como o plano também é paralelo ao vetor v2=(-2,1,3), um vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n=v1timesv2 =(2,-3,1)times(-2,1,3)
Calculando coordenada a coordenada:
n =l((-3)cdot3 - 1cdot1,;1cdot(-2)-2cdot3,;2cdot1 -(-3)cdot(-2)r) =(-10,-8,-4)
Podemos simplificar n=-2(5,4,2), então escolhemos
n=(5,4,2)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(5,4,2) que passa por P0=(1,-2,3) é
5(x-1)+4(y+2)+2(z-3)=0
Desenvolvendo:
5x-5+4y+8+2z-6=0 Longrightarrow 5x+4y+2z-3=0

Resposta

A equação cartesiana do plano pi é
5x + 4y + 2z - 3 = 0

Exercícios relacionados