Considere a transformação Ttheta: R^2 R^2 que roda cada ponto do plano por um ângulo fixo theta em torno da origem no sentido directo.
a) Verifique que Ttheta é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação
Ttheta:R^2toR^2 que gira cada ponto (x,y) por um ângulo fixo theta em torno da origem no sentido directo. Para mostrar que Ttheta é linear basta verificar duas propriedades:
(i) homo>=neidade: Ttheta(alpha u)=alpha,Ttheta(u), (ii) aditividade: Ttheta(u+v)=Ttheta(u)+Ttheta(v)

Passo 2

Vamos escrever Ttheta em coordenadas. Se u=(x,y), então girar por theta
Ttheta(x,y) = l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para qualquer alphainR e u=(x,y) temos
Ttheta(alpha x,alpha y) = l(alpha xcostheta - alpha ysintheta,;alpha xsintheta + alpha ycosthetar) = alphal(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar) = alpha,Ttheta(u)

Passo 4

Verificamos a aditividade. Para u=(x1,y1) e v=(x2,y2) temos
Ttheta(u+v) = Ttheta(x1+x2,;y1+y2) = l((x1+x2)costheta - (y1+y2)sintheta,;dotsr)
= l(x1costheta - y1sintheta,;x1sintheta + y1costhetar) + l(x2costheta - y2sintheta,;x2sintheta + y2costhetar) = Ttheta(u)+Ttheta(v)

Resposta

Ttheta satisfaz homogeneidade e aditividade, logo é uma transformação linear.

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