Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : perpendicular ao vetor v=[2,-1,-2] cuja distância ao ponto P=(1,1,1) é 4 unidades;

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano pi que é perpendicular ao vetor normal vec v = [2,-1,-2] e cuja distância ao ponto P=(1,1,1) é 4 unidades.
Para resolver vamos usar:
  1. A forma geral da equação de um plano com normal vec n=(a,b,c) é
ax + by + cz + D = 0
  1. A distância de um ponto P0=(x0,y0,z0) a esse plano é
dist = l|a x0 + b y0 + c z0 + Dr|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 2

Como o plano é perpendicular a vec v=[2,-1,-2], escolhemos
a=2, b=-1, c=-2
e escrevemos a equação geral
2x - y - 2z + D = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância do ponto P=(1,1,1) ao plano, impondo que essa distância seja 4:
l|2cdot1 +(-1)cdot1 +(-2)cdot1 + Dr|raiz2^2 +(-1)^2 +(-2)^2 = 4
Calculamos o denominador:
raiz2^2 +(-1)^2 +(-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = 3
No numerador fica
|2 - 1 - 2 + D| = |,D - 1,|
Logo
|,D - 1,|3 = 4 Longrightarrow |,D - 1,| = 12

Passo 4

Da equação |D - 1| = 12 temos duas soluções:
D - 1 = 12 Longrightarrow D = 13,
D - 1 = -12 Longrightarrow D = -11

Resposta

As duas possíveis equações cartesianas do plano pi são:
boxed2x - y - 2z + 13 = 0 ou boxed2x - y - 2z - 11 = 0

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