(b) Dê a parametrização da reta que passa pelo ponto (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0} do item (a).
Passo 1
O enunciado nos dá:
Um ponto por onde passa o plano pedido: (1,5,1).
Dois planos cujas equações são\Pi_{1}: 2x+y-2z=2
\Pi_{2}: x+3z=4.
As perguntas são:
(a) Determinar a equação cartesiana do plano \Pi_{0} que passa por (1,5,1) e é perpendicular aos planos \Pi_{1} e \Pi_{2}.
(b) Dar a parametrização da reta que passa por (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0}.
Informações relevantes extraídas das equações (apenas listando dados dados pelo enunciado):
O vetor normal de \Pi_{1} é \mathbf{n}_1=(2,1,-2) (peguei este vetor da equação de \Pi_{1}).
O vetor normal de \Pi_{2} é \mathbf{n}_2=(1,0,3) (peguei este vetor da equação de \Pi_{2}).
Passo 2
Entendendo a condição “plano perpendicular a outro plano”: duas coisas importantes e simples de lembrar (explicadas passo a passo).
Se dois planos são perpendiculares, então os vetores normais desses planos são perpendiculares entre si. Ou seja, \Pi_a \perp \Pi_b \iff \mathbf{n}_a\cdot\mathbf{n}_b=0.
No nosso caso, o plano \Pi_{0} deve ser perpendicular tanto a \Pi_{1} quanto a \Pi_{2}. Logo o vetor normal \mathbf{n}_0 de \Pi_{0} precisa ser ortogonal a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2.
Um jeito direto de obter um vetor ortogonal a dois vetores dados é usar o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 é um vetor perpendicular simultaneamente a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2.
Vou usar esse procedimento porque nos dá um \mathbf{n}_0 de forma direta e com cálculo simples.
Passo 3
Calcular o produto vetorial \mathbf{n}_0=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Escrevendo explicitamente:
Componente em \mathbf{i}: 1\cdot 3 - (-2)\cdot 0 = 3.
Componente em \mathbf{j}: 2\cdot 3 - (-2)\cdot 1 = 6 - (-2)=8, mas ao considerar o sinal do desenvolvimento temos -8 para a componente \mathbf{j}.
Componente em \mathbf{k}: 2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Portanto
\mathbf{n}_0=(3,-8,-1).]
Passo 4
Com um vetor normal \mathbf{n}_0=(3,-8,-1) e o ponto P_0=(1,5,1) por onde o plano passa, usamos a forma vetorial da equação do plano:
\mathbf{n}_0\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Escrevendo e desenvolvendo:
(3,-8,-1)\cdot(x-1,y-5,z-1)=0,
o que dá
3(x-1)-8(y-5)-1(z-1)=0.
Agora expandindo e simplificando:
3x-3-8y+40-z+1=0,
3x-8y-z+38=0.
Este é, portanto, a equação cartesiana do plano \Pi_{0}. (Checagem rápida: substituindo (1,5,1) obtém-se 3-40-1+38=0, OK.)
Passo 5
Agora a reta que passa por (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0}: por definição, uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. Assim um vetor diretor da reta é \mathbf{d}=\mathbf{n}_0=(3,-8,-1).
A parametrização vetorial da reta, usando parâmetro t\in\mathbb{R}, é