(a) Determine a equação cartesiana do plano \Pi_{0} passando pelo ponto (1,5,1) e perpendicular aos planos
\Pi_{1}: 2 x+y-2 z=2 \quad \text { e } \quad \Pi_{2}: x+3 z=4 .
(b) Dê a parametrização da reta que passa pelo ponto (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0} do item (a).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um ponto por onde passa o plano pedido: (1,5,1).
  • Dois planos cujas equações são \Pi_{1}: 2x+y-2z=2
\Pi_{2}: x+3z=4.
  • As perguntas são:
    (a) Determinar a equação cartesiana do plano \Pi_{0} que passa por (1,5,1) e é perpendicular aos planos \Pi_{1} e \Pi_{2}.
    (b) Dar a parametrização da reta que passa por (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0}.
Informações relevantes extraídas das equações (apenas listando dados dados pelo enunciado):
  • O vetor normal de \Pi_{1} é \mathbf{n}_1=(2,1,-2) (peguei este vetor da equação de \Pi_{1}).
  • O vetor normal de \Pi_{2} é \mathbf{n}_2=(1,0,3) (peguei este vetor da equação de \Pi_{2}).

Passo 2

Entendendo a condição “plano perpendicular a outro plano”: duas coisas importantes e simples de lembrar (explicadas passo a passo).
  • Se dois planos são perpendiculares, então os vetores normais desses planos são perpendiculares entre si. Ou seja, \Pi_a \perp \Pi_b \iff \mathbf{n}_a\cdot\mathbf{n}_b=0.
  • No nosso caso, o plano \Pi_{0} deve ser perpendicular tanto a \Pi_{1} quanto a \Pi_{2}. Logo o vetor normal \mathbf{n}_0 de \Pi_{0} precisa ser ortogonal a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2.
  • Um jeito direto de obter um vetor ortogonal a dois vetores dados é usar o produto vetorial (cross product). O produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 é um vetor perpendicular simultaneamente a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2.
Vou usar esse procedimento porque nos dá um \mathbf{n}_0 de forma direta e com cálculo simples.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \mathbf{n}_0=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Escrevendo explicitamente:
\mathbf{n}_1=(2,1,-2),\qquad \mathbf{n}_2=(1,0,3).
O produto vetorial é dado pelo determinante:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
  • Componente em \mathbf{i}: 1\cdot 3 - (-2)\cdot 0 = 3.
  • Componente em \mathbf{j}: 2\cdot 3 - (-2)\cdot 1 = 6 - (-2)=8, mas ao considerar o sinal do desenvolvimento temos -8 para a componente \mathbf{j}.
  • Componente em \mathbf{k}: 2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Portanto
\mathbf{n}_0=(3,-8,-1).]

Passo 4

Com um vetor normal \mathbf{n}_0=(3,-8,-1) e o ponto P_0=(1,5,1) por onde o plano passa, usamos a forma vetorial da equação do plano:
\mathbf{n}_0\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Escrevendo e desenvolvendo:
(3,-8,-1)\cdot(x-1,y-5,z-1)=0,
o que dá
3(x-1)-8(y-5)-1(z-1)=0.
Agora expandindo e simplificando:
3x-3-8y+40-z+1=0,
3x-8y-z+38=0.
Este é, portanto, a equação cartesiana do plano \Pi_{0}. (Checagem rápida: substituindo (1,5,1) obtém-se 3-40-1+38=0, OK.)

Passo 5

Agora a reta que passa por (1,5,1) e é perpendicular ao plano \Pi_{0}: por definição, uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. Assim um vetor diretor da reta é \mathbf{d}=\mathbf{n}_0=(3,-8,-1).
A parametrização vetorial da reta, usando parâmetro t\in\mathbb{R}, é
\mathbf{r}(t)=(1,5,1)+t(3,-8,-1).
Escrevendo em componentes:
x=1+3t,\qquad y=5-8t,\qquad z=1-t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\; \text{(a) } 3x-8y-z+38=0
\; \text{(b) } (x,y,z)=(1,5,1)+t(3,-8,-1),\\ t\in\mathbb{R}

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