Determine uma equação cartesiana para representar o lugar geométrico dos pontos que equidistam de A=\left(x_{1}, y_{1}\right) e B=\left(x_{2}, y_{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P a A=(x_{1},y_{1}) seja igual à distância de P a B=(x_{2},y_{2}). Vamos usar a fórmula da distância euclidiana e manipular algebricamente para obter a equação desse locus.

Passo 2

Escrevemos a condição de equidistância:
PA = PB.

Passo 3

Substituímos pelas fórmulas de distância: (\sqrt{(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2}}

\sqrt{(x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2}}.)

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao quadrado e cancelamos x^{2} e y^{2}:
(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = (x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2}
x^{2} - 2x\,x_{1} + x_{1}^{2} + y^{2} - 2y\,y_{1} + y_{1}^{2} = x^{2} - 2x\,x_{2} + x_{2}^{2} + y^{2} - 2y\,y_{2} + y_{2}^{2}
-2x\,x_{1} + x_{1}^{2} -2y\,y_{1} + y_{1}^{2} = -2x\,x_{2} + x_{2}^{2} -2y\,y_{2} + y_{2}^{2}.

Passo 5

Reagrupando os termos em x e y e dividindo tudo por 2, obtemos
(x_{2} - x_{1})\,x + (y_{2} - y_{1})\,y + \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - x_{2}^{2} - y_{2}^{2}}{2} = 0.

Resposta

(x_{2} - x_{1})\,x + (y_{2} - y_{1})\,y + \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} - x_{2}^{2} - y_{2}^{2}}{2} = 0
Essa é a equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B.

Exercícios relacionados