Q7: Considere \vec{v}=(1,-2) e a base \beta=\{(1,-1),(2,-3)\}. Assinale a primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta}, as coordenadas de \vec{v} na base \beta.
(A) 1
(B) -2
(C) 0
(D) -1
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(1,-2) no espaço \mathbb{R}^2 e a base \beta=\{(1,-1),(2,-3)\}. Precisamos encontrar as coordenadas [\vec{v}]_{\beta}=(c_{1},c_{2}), ou seja, achar c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}(1,-1)+c_{2}(2,-3)=(1,-2).

Passo 2

Traduzimos a combinação linear em um sistema de equações. Se
c_{1}(1,-1)+c_{2}(2,-3)=(1,-2),
então, compondo coordenada a coordenada, obtemos
\begin{cases} c_{1}+2c_{2}=1,\\\\ -\,c_{1}-3c_{2}=-2. \end{cases}

Passo 3

Para resolver o sistema, podemos somar as duas equações (após multiplicar a segunda por -1) ou usar substituição. Primeiro, multiplica-se a segunda por -1:
c_{1}+3c_{2}=2.
Agora subtraímos a primeira equação c_{1}+2c_{2}=1 da equação acima:
(c_{1}+3c_{2})-(c_{1}+2c_{2})=2-1 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=1.

Passo 4

Com c_{2}=1, voltamos à primeira equação:
c_{1}+2\cdot1=1 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=1-2=-1.
Portanto, as coordenadas são (c_{1},c_{2})=(-1,1).

Resposta

A primeira entrada de [\vec{v}]_{\beta} é -1, alternativa (D).

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