Determine a equação cartesiana da reta r, onde:
r:\left\{\begin{array}{l}x=-4 t \\\ y=3 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) em forma paramétrica: \[\begin{cases} x=-4t,\\[4pt] y=3t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
O que é pedido: determinar a equação cartesiana da reta r\]. Informações relevantes fornecidas: - As coordenadas de um ponto genérico da reta estão expressas em função do parâmetro \(t.
- O parâmetro t varia por todos os reais, então a expressão descreve toda a reta.]

Passo 2

Estratégia clara (sem resolver ainda): para obter a equação cartesiana devemos eliminar o parâmetro t das duas equações e obter uma relação entre x e y somente. Outra maneira equivalente é reconhecer o vetor diretor da reta a partir das componentes das equações paramétricas e construir a equação usando um vetor normal. Vou primeiro eliminar o parâmetro e depois mostrar a forma via vetor diretor (para fixar bem a ideia).

Passo 3

Eliminar o parâmetro t resolvendo uma das equações por t e substituindo na outra. A partir de x=-4t segue:
t=\frac{x}{-4}=-\frac{x}{4}.
Agora substitui-se esse valor de t em y=3t:
y=3\left(-\frac{x}{4}\right)=-\frac{3}{4}x.
Essa é a forma explícita da reta (forma função): y=-\dfrac{3}{4}x.

Passo 4

Transformar a forma y=-\dfrac{3}{4}x numa forma cartesiana padrão ax+by+c=0, que costuma ser mais pedida em provas. Multiplica ambos os lados por 4:
4y=-3x.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
3x+4y=0.
Portanto uma equação cartesiana equivalente é 3x+4y=0.

Passo 5

Verificação e interpretação geométrica (método alternativo e útil para entender): as equações paramétricas podem ser vistas como vetor posição
\vec r(t)=t(-4,3).
Então o vetor diretor da reta é \vec v=(-4,3). Um vetor normal \vec n é qualquer vetor perpendicular a \vec v; por exemplo \vec n=(3,4) porque
\vec n\cdot\vec v=3\cdot(-4)+4\cdot3=-12+12=0.
A equação cartesiana obtém-se impondo \vec n\cdot(x,y)=0 (a reta passa pela origem quando t=0), ou seja
3x+4y=0,
coincidindo com o resultado anterior. Isso confirma e dá intuição geométrica: coeficientes 3 e 4 formam um vetor normal à direção (-4,3).

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando a reta vem em forma x=x_0+at,\;y=y_0+bt, pode-se escrever imediatamente \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=t (se a e b não forem zero) ou obter um vetor normal (b,-a) e usar b(x-x_0)-a(y-y_0)=0. No caso dado x_0=y_0=0, a=-4, b=3, o procedimento é rápido e dá 3x+4y=0. Força aí — já sabes o truque!

Resposta

y=-\dfrac{3}{4}x
3x+4y=0

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