Determine a equação cartesiana da reta
, onde:
.
Passo 1
O enunciado dá a reta
O que é pedido: determinar a equação cartesiana da reta
.
- O parâmetro varia por todos os reais, então a expressão descreve toda a reta.]
- O parâmetro
Passo 2
Estratégia clara (sem resolver ainda): para obter a equação cartesiana devemos eliminar o parâmetro
das duas equações e obter uma relação entre
e
somente. Outra maneira equivalente é reconhecer o vetor diretor da reta a partir das componentes das equações paramétricas e construir a equação usando um vetor normal. Vou primeiro eliminar o parâmetro e depois mostrar a forma via vetor diretor (para fixar bem a ideia).
Passo 3
Eliminar o parâmetro
resolvendo uma das equações por
e substituindo na outra. A partir de
segue:
Agora substitui-se esse valor de
em
:
Essa é a forma explícita da reta (forma função):
.
Passo 4
Transformar a forma
numa forma cartesiana padrão
, que costuma ser mais pedida em provas. Multiplica ambos os lados por
:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Portanto uma equação cartesiana equivalente é
.
Passo 5
Verificação e interpretação geométrica (método alternativo e útil para entender): as equações paramétricas podem ser vistas como vetor posição
Então o vetor diretor da reta é
. Um vetor normal
é qualquer vetor perpendicular a
; por exemplo
porque
A equação cartesiana obtém-se impondo
(a reta passa pela origem quando
), ou seja
coincidindo com o resultado anterior. Isso confirma e dá intuição geométrica: coeficientes
e
formam um vetor normal à direção
.
Passo 6
Dica rápida para a prova: quando a reta vem em forma
, pode-se escrever imediatamente
(se
e
não forem zero) ou obter um vetor normal
e usar
. No caso dado
,
,
, o procedimento é rápido e dá
. Força aí — já sabes o truque!