Determine a equação cartesiana da reta r, onde:
r:\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{t}{2} \\\ y=-t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica:
x=2-\frac{t}{2},\qquad y=-t,\qquad t\in\mathbb{R}.
O que é pedido: determinar a equação cartesiana da reta r.
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões paramétricas de x e y em função do parâmetro t.
  • O parâmetro t varia em \mathbb{R}.

Passo 2

Isolar o parâmetro t a partir de uma das equações. A equação para y é simples:
y=-t.
Isso implica, isolando t,
t=-y.
Explicação didática: isolar uma variável significa rearranjar a igualdade para ter essa variável sozinha de um lado; aqui multiplicando ambos os lados por -1 obtemos t=-y.

Passo 3

Substituir a expressão de t encontrada na equação de x. A equação de x é
x=2-\frac{t}{2}.
Substituindo t=-y obtemos
x=2-\frac{-y}{2}=2+\frac{y}{2}.
Explicação didática: trocar o parâmetro pela relação t=-y elimina o parâmetro e relaciona diretamente x e y.

Passo 4

Eliminar frações e rearranjar para uma forma cartesiana padrão. Multiplicando ambos os lados por 2
2x=4+y.
Colocando todos os termos no lado esquerdo para obter a forma ax+by+c=0,
2x - y - 4 = 0.
Explicação didática: a forma ax+by+c=0 é a forma cartesiana padrão de uma reta; aqui a=2, b=-1, c=-4.

Passo 5

Obter a forma reduzida (inclinação-intercepto) para interpretar a reta. Da equação 2x - y - 4 = 0 isolando y vem
y=2x-4.
Interpretação: o coeficiente angular (inclinação) é m=2 e o coeficiente linear (intercepto em y) é -4. Isso significa que a reta sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade em x.

Passo 6

Verificação com pontos da parametrização (checagem rápida e intuitiva). Escolhendo alguns valores de t:
  • Para t=0: (x,y)=(2,0). Substituindo em y=2x-4 0=2\cdot2-4=0. OK.
  • Para t=2: (x,y)=(1,-2). Substituindo dá -2=2\cdot1-4=-2. OK.
  • Para t=-2: (x,y)=(3,2). Substituindo dá 2=2\cdot3-4=2. OK.
Comentário didático final: outra forma de ver a reta é a partir do vetor diretor. Da parametrização original o vetor diretor é \bigl(-\tfrac{1}{2},-1\bigr), que é paralela a (1,2); isso é consistente com a inclinação 2.

Resposta

2x - y - 4 = 0

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