Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta r, onde:
r: 2 x+y-1=0,

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) as equações paramétricas da reta r e (2) um vetor paralelo à reta r. A única informação dada é a equação cartesiana da reta:
2x+y-1=0.
Não começar a resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Entender uma ideia-chave (rápido e útil para prova). Uma reta no plano dada por
ax+by+c=0
tem um vetor normal à reta igual a
\vec{n}=(a,b),
porque \vec{n} aponta na direção perpendicular a qualquer vetor diretor da reta. Aqui, comparando com 2x+y-1=0, obtemos o vetor normal
\vec{n}=(2,1).
Expliquei o que significa cada símbolo: a=2, b=1, c=-1; \vec{n} é um vetor cuja componente x é a e componente y é b.

Passo 3

A partir do vetor normal \vec{n} é fácil construir um vetor diretor \vec{v} da reta: deve valer
\vec{n}\cdot\vec{v}=0,
ou seja, 2v_x+1\cdot v_y=0. Vou escolher um vetor simples que satisfaça isso. Se eu tomar v_x=1, então
2\cdot 1 + v_y = 0 \quad\Rightarrow\quad v_y=-2.
Portanto um vetor diretor (paralelo à reta) é
\vec{v}=(1,-2).
Observação prática: trocar o sinal também dá outro vetor diretor equivalente, por exemplo (-1,2).

Passo 4

Agora preciso de um ponto qualquer que pertença à reta para montar a forma vetorial/paramétrica. A forma mais direta é escolher um valor fácil para x ou y e resolver a equação. Tomo x=0, então da equação
2\cdot 0 + y -1 = 0
vem
y=1.
Logo um ponto da reta é P_0=(0,1). (Se preferir, poderia tomar y=0 e achar x=\tfrac12; tanto faz.)

Passo 5

A forma vetorial paramétrica de uma reta com ponto P_0 e vetor diretor \vec{v} é
\vec{r}(t)=\vec{P_0}+t\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro, \vec{P_0} é o vetor posição do ponto conhecido e \vec{v} é o vetor diretor. Substituindo P_0=(0,1) e \vec{v}=(1,-2) obtemos (em notação de componentes):
\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Aqui cada componente significa: a primeira linha é a coordenada x, a segunda é a coordenada y.]

Passo 6

Das componentes da expressão vetorial extraímos as equações paramétricas, escrevendo cada coordenada em função de t. Da forma acima:
x(t)=0+t=t,
y(t)=1+t(-2)=1-2t,
com t\in\mathbb{R}. Isso são as equações paramétricas pedidas. O vetor paralelo (diretor) já foi encontrado: \vec{v}=(1,-2). Pequena checagem: substituindo x=t e y=1-2t na equação cartesiana dá
2x+y-1=2t+(1-2t)-1=0,
confirmando que a parámetrização é correta.

Resposta

x=t,\quad y=1-2t,\\ t\in\mathbb{R}
\vec{v}=(1,-2)

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