Determine as equações paramétricas e um vetor paralelo à reta
, onde:
,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) as equações paramétricas da reta
e (2) um vetor paralelo à reta
. A única informação dada é a equação cartesiana da reta:
Não começar a resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Entender uma ideia-chave (rápido e útil para prova). Uma reta no plano dada por
tem um vetor normal à reta igual a
porque
aponta na direção perpendicular a qualquer vetor diretor da reta. Aqui, comparando com
, obtemos o vetor normal
Expliquei o que significa cada símbolo:
,
,
;
é um vetor cuja componente
é
e componente
é
.
Passo 3
A partir do vetor normal
é fácil construir um vetor diretor
da reta: deve valer
ou seja,
. Vou escolher um vetor simples que satisfaça isso. Se eu tomar
, então
Portanto um vetor diretor (paralelo à reta) é
Observação prática: trocar o sinal também dá outro vetor diretor equivalente, por exemplo
.
Passo 4
Agora preciso de um ponto qualquer que pertença à reta para montar a forma vetorial/paramétrica. A forma mais direta é escolher um valor fácil para
ou
e resolver a equação. Tomo
, então da equação
vem
Logo um ponto da reta é
. (Se preferir, poderia tomar
e achar
; tanto faz.)
Passo 5
A forma vetorial paramétrica de uma reta com ponto
e vetor diretor
é
onde
é o parâmetro,
é o vetor posição do ponto conhecido e
é o vetor diretor. Substituindo
e
obtemos (em notação de componentes):
Aqui cada componente significa: a primeira linha é a coordenada
, a segunda é a coordenada
.]
Passo 6
Das componentes da expressão vetorial extraímos as equações paramétricas, escrevendo cada coordenada em função de
. Da forma acima:
com
. Isso são as equações paramétricas pedidas. O vetor paralelo (diretor) já foi encontrado:
. Pequena checagem: substituindo
e
na equação cartesiana dá
confirmando que a parámetrização é correta.