Determine a equação cartesiana da reta r, onde:
r:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ y=2-t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá a representação paramétrica da reta r:
  • x=3.
  • y=2-t.
  • t\in\mathbb{R}.
O que é pedido: determinar a equação cartesiana da reta r (ou seja, uma equação em x e y que descreva todos os pontos da reta sem usar o parâmetro t).

Passo 2

Conceito útil (o que é “equação cartesiana” e como obtê-la):
A equação cartesiana de uma reta no plano é uma relação entre x\) e \(y\) (por exemplo \(\,ax+by+c=0\)) que é satisfeita por todos os pontos \((x,y)\) da reta. A estratégia geral para partir de uma forma paramétrica \[\begin{cases} x = x(t),\\[4pt] y = y(t), \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R},
é eliminar o parâmetro t\]. Em muitos casos consegue-se isolar \[t em termos de x (ou de y) e substituir na outra equação, obtendo uma relação só entre x e y.
Exemplo didático (caso comum): se tivéssemos
\begin{cases} x = 1+2t,\\[4pt] y = 3-t, \end{cases}
poderíamos isolar t\] em \(x: \,t=\dfrac{x-1}{2}, e substituir em y para obter
y=3-\frac{x-1}{2},
que rearranjando dá a equação cartesiana linear correspondente.]

Passo 3

Situação especial a observar: quando uma das coordenadas é constante na parametrização, isto simplifica muito a eliminação do parâmetro. Se, por exemplo, numa parametrização aparece \,x=c com c constante, isso significa que todas as coordenadas x dos pontos da reta têm o mesmo valor c. Geometricamente isso representa uma reta vertical localizada na abscissa c.

Passo 4

Aplicando ao caso dado: na parametrização da reta r a coordenada \,x é exatamente uma constante (igual a 3, conforme o enunciado). Portanto todas as abscissas dos pontos da reta têm o mesmo valor, e a reta é a linha vertical que passa por essa abscissa.
Forma algébrica padrão equivalente: uma reta vertical com abscissa 3 pode ser representada de forma linear também como \,x-3=0, que é uma forma do tipo ax+by+c=0 com a=1, b=0, c=-3.

Resposta

x=3

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